2001年(平成13年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[1] 任意の自然数 $n\geqq 2$ に対して，常に不等式
$n-\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \dfrac{k}{\sqrt{k^2-1}}\geqq \dfrac{i}{10}$
が成立するような最大の整数 $i$ を求めよ．

[2] (1) 図1のように，等間隔 $h$ で格子状に互いに直交する $2$ 組の無数の平行線が引いてある平面が与えられている．その上に半径 $1$ の円 $C$ を無作為に落とすとき，この円がちょうど $2$ 本の線と交わる確率 $p$ を求めよ．

(2) 図2のように，半径 $\sqrt{2}+1$ の円が重複なく，かつ隣り合う円と接して無数に敷き詰められた平面がある．この上に半径 $1$ の円 $C$ を無作為に落とすとき，その円 $C$ が平面上のちょうど $3$ つの円と交わる確率 $q$ を求めよ．

ただし，解答にあたり次のことを用いてよい．

平面上に共に原点 $\mbox{O}$ を始点とする一次独立な2つのベクトル $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ を考え，点 $\mbox{O}$ と $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ ， $\mathbf{a+b}$ の3つのベクトルの終点の $4$ 点を頂点とする平行四辺形を $E$ とする． $E$ の領域 $F$ に対して， $F$ を $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の整数係数の一次結合 $m\mathbf{a}+n\mathbf{b}$ によって平行移動したもの全体の和集合を $D$ とする．即ち記号で書くと

$D=\{ \mathbf{x}+m\mathbf{a}+n\mathbf{b}\,|\,\mathbf{x}\in F,m\in\mathbf{Z},n\in\mathbf{Z} \}$

とおく．ここで $\mathbf{Z}$ は整数全体を表す．
このとき平面に $1$ 点 $\mbox{P}$ を無作為に落とすとき，その点が $D$ 内に落ちる確率は， $F$ の面積の平行四辺形 $E$ の面積に対する比になっている．

(図)

[3] 整数を係数とする2次方程式 $f(x)$ で2次の項の係数が正であるものが与えられている．任意の実数 $x$ に対して，平面上の原点を中心とし半径が $1$ である単位円 $C$ 上の点 $\mbox{P}(x)$ を
$\mbox{P}(x)=(\cos 2\pi f(x),\sin 2\pi f(x))$
によって定める．円周 $C$ の弧 $I$ の長さが $L$ （ $0\lt L\lt 2\pi$ ）であるものを固定する．そのとき各自然数 $k$ に対して区間 $[k\mbox{，}\,k+1]$ の部分集合
$\{ x\,|\,k \leqq x \leqq k+1,P(x) \in I \}$
は互いに交わらない有限個の区間の和集合になっているので，それらの区間の長さの総和を $T_k$ で表す．このとき， $\displaystyle\lim_{k\to\infty} T_k=\dfrac{L}{2\pi}$ を証明せよ．

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