[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2009年(平成21年)東京大学前期-数学(文科)[1]

本問のテーマ
楕円は2点からの距離の和が一定(2021.02.08)

2021.02.08記

[解答]

{\rm O}(0,0)，{\rm A}(1,0)，{\rm P}(a,b) とおく．

(2) {\rm AP}=1+t，{\rm OP}=2-t だから，\rm AP+OP=3 となり，\rm P は \rm O，A を焦点とする楕円上にあり，\dfrac{\Bigl(a-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2}{9/4}+\dfrac{b^2}{2}=1（b\gt 0） となる．よって b の最大値は短軸の長さ \sqrt{2}

となるが，(1) の誘導を解かなければならないので却って遠回りになっている．

[解答]

{\rm O}(0,0)，{\rm A}(1,0)，{\rm P}(a,b) とおく．

(1) {\rm AP}=1+t，{\rm OP}=2-t だから，a^2+b^2=(2-t)^2，(a-1)^2+b^2=(t+1)^2 となり，b\gt 0 から a=-3t+2，b=\sqrt{-8t^2+8t} となる．b\gt 0 なる t の範囲は 0\lt t\lt 1 である．

(2) b=\sqrt{-8t^2+8t} の 0\lt t\lt 1 における最大値は t=\dfrac{1}{2} のときの \sqrt{2}