2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.05記
面積を求めるのには上下関係だけを知れば良い．

[解答](2022.03.17方針そのままでより丁寧に書き直し)

$f(t)=\cos 2t$ ， $g(t)=t\sin t$ とおく．

$0\leqq u\leqq \dfrac{\pi}{2}$ なる $u$ に対して，
$f(t)=f(u)$ となるのは， $\cos 2t=\cos 2u$ から $\cos^2 t=\cos^2 u$ となるので， $0\leqq t\lt 2\pi$ においては $t=u,\pi-u,\pi+u, 2\pi-u$ のときである．

このとき，
$g(u)=u\sin u$ ， $g(\pi-u)=(\pi-u)\sin u$ ， $g(\pi+u)=-(\pi+u)\sin u$ ， $g(2\pi-u)=-(2\pi-u)\sin u$
により
$g(\pi-u)\geqq g(u)\geqq g(\pi+u) \geqq g(2\pi -u)$
（ $u=0$ ですべての等号が成立， $u=\dfrac{\pi}{2}$ で最初と最後のみ等号が成立）
が成立するので，曲線の $x=\cos 2u$ における切り口の線分の長さは
$\{g(\pi-u)-g(u)\}+\{g(\pi+u)-g(2\pi -u)\}$ $=2(\pi-2u)\sin u$
となる．

よって求める面積 $S$ は
$S=\displaystyle\int_{x=-1(u=\frac{\pi}{2})}^{x=1(u=0)} 2(\pi-2u)\sin u dx$ $=\displaystyle\int_{u=\frac{\pi}{2}}^{u=0} 2(\pi-2u)\sin u \cdot (-2\sin 2u) du$ であり， $s=\dfrac{\pi}{2}-u$ と置換すると
$S=\displaystyle 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} s \cos s \sin 2s ds$ $=\displaystyle 16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} s \cos^2 s \sin s ds$ $=16\Bigl[-\dfrac{s\cos^3 s}{3}\Bigr]_0^{\pi/2}+\dfrac{16}{3}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 ds$ $=0+\dfrac{16}{3}\times\dfrac{2}{3}$ $=\dfrac{32}{9}$

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3s ds$ にはウォリス積分を用いた．

2021.03.17記
ちなみに曲線のグラフは
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