[6]定数 に対し， が についての恒等式であるとする．(1) であるとき， を で表せ．(2) とする． が定数 を用いて と表されているとき，有理数を係数とする についての整式 と で を満たすものを 組求めよ．(3) を整数とする． の 次式 が有理数を係数とする…

[5] を正の実数とする． における の関数 を，座標平面上の 点 ， 間の距離 の 乗として定める．(1) の範囲に となる がただ1つ存在することを示せ．(2) 以下が成り立つような の範囲を求めよ. における の関数 は，区間 のある点において最大になる．サイク…

[4]以下の問いに答えよ．(1)正の奇数 と正の整数 が を満たしているとする． を で割ったあまりが を で割った余りと等しいならば， を で割った余りは を で割った余りと等しいことを示せ．(2)正の整数 が を満たしているとする．このとき, に対して となる…

[3]関数 に対して， のグラフを とする．点 における の接線を とする．(1) と の共有点で と異なるものがただ つ存在することを示し, その点の 座標を求めよ．(2)(1)で求めた共有点の 座標を とする. 定積分 を計算せよ．2021.02.25記 [解答](1) より とな…

[2]複素数 に対して整式 を考える． を虚数単位とする．(1) を複素数とする． が成り立つとき， をそれぞれ で表せ．(2) がいずれも 以上 以下の実数であるとき， のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ．2021.02.25記 (3)は平行六面体を正射影してできる…

[1] を実数とする．座標平面上の放物線 は放物線 と つの共有点をもち，一方の共有点の 座標は を満たし，他方の共有点の 座標は を満たす．(1)点 のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．(2)放物線 の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ．2021.02.25記 [解…

[5]次の問いに答えよ， (1) を実数とする， についての方程式 の実数解のうち， をみたすものがちょうど 個あることを示せ．(2)自然数 に対し， かつ をみたす実数 を とおく． を をみたす実数とする．このとき，曲線 上の点 における接線が，不等式 の表す…

[4]整数 に関する次の条件(*)を考える． ……(*) (1)整数 が(*)および をみたすとき， は の倍数であることを示せ．(2) のとき，(*)および をみたす整数の組 の個数を求めよ．2021.02.25記 間違えていたので消去．2021.02.26記 [解答]以下 mod 3 で考える．(1)…

[3] を自然数とし, を をみたす実数とする．(1) のとき，不等式 が成り立つことを示せ．(2)不等式 が成り立つことを示せ．(3) とおく． をみたすような実数 の値を求めよ．2021.02.25記 [解答] (1) とおくと ， により とおくと ，， により となる．また に…

[2]空間内に，同一平面上にない 点 がある． を ， をみたす実数とする．線分 を に内分する点を ，線分 を に内分する点を ，線分 を に内分する点を ，線分 を に内分する点を とする．さらに 点 が同一平面上にあるとする．(1) を を用いて表せ．(2)，，…

[1] を をみたす正の実数とする． 平面上の点 から，曲線 に 本の接線を引き，その接点を ， とする. ただし， とする． (1) および を を用いて表せ. (2) 点 が曲線 上の ， をみたす部分を動くとき， の最小値とそのときの の値を求めよ．2021.02.25記 ， …