[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2009年(平成21年)東京大学前期-数学(理科)[6]

2021.02.07記

[解答]

(1) \overrightarrow{{\rm P}_1(t){\rm P_2}(t)}=\overrightarrow{{\rm P}_1(t){\rm A_1}}+\overrightarrow{{\rm A}_1{\rm A_2}}+\overrightarrow{{\rm A}_2{\rm P_2}(t)}=-t\vec{e_1}+\vec{a_1}+t\vec{e_2}=\vec{a_1}-t(\vec{e_1}-\vec{e_2})
であるから，ある時刻 t で d({\rm P}_1(t),{\rm P}_2(t))\leqq 1 が成立したとき，t(\vec{e_1}-\vec{e_2}) の終点は，\vec{a_1} の終点を中心とする半径1の円の周または内部に位置する．この円への接線と \vec{a_1} のなす角度の正弦は \dfrac{1}{|\vec{a_1}|}=\dfrac{1}{1000} だから，|\sin\theta|\leqq\dfrac{1}{1000} が成り立つ．

(2) \vec{a_1} 向きから反時計周りに測った \vec{e_1}，\vec{e_2} 向きの角度は \theta_1，\theta_2+\dfrac{2\pi}{3} だから，
\vec{e_1}+\vec{e_2} 向きの角度は \dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}+\dfrac{\pi}{3} となり，よって
\vec{e_1}-\vec{e_2} 向きの角度はそれより時計回りに \dfrac{\pi}{2} ずれているので\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}-\dfrac{\pi}{6} となる．

よって，-\alpha\leqq \dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}-\dfrac{\pi}{6}\leqq \alpha となり，
\dfrac{\pi}{3}-2\alpha\leqq \theta_1+\theta_2\leqq \dfrac{\pi}{3}+2\alpha

(3) (2) と同様にして
\dfrac{\pi}{3}-2\alpha\leqq \theta_2+\theta_3\leqq \dfrac{\pi}{3}+2\alpha，\dfrac{\pi}{3}-2\alpha\leqq \theta_3+\theta_1\leqq \dfrac{\pi}{3}+2\alpha
が成立するので，\dfrac{\pi}{2}-3\alpha\leqq \theta_1+\theta_2+\theta_3\leqq \dfrac{\pi}{2}+3\alpha となり，\dfrac{\pi}{6}-5\alpha\leqq \theta_1\leqq \dfrac{\pi}{6}+5\alpha が成立する．

時刻 T において，{\rm A}_1{\rm P_1}(T)=\dfrac{1000}{\sqrt{3}}={\rm A}_1{\rm O} であり，\angle{\rm OA}_1{\rm P}_1(T)=\Bigl|\theta_1-\dfrac{\pi}{3}\Bigl|\leqq 5\alpha だから，{\rm OP}_1(T)\leqq2\cdot \dfrac{1000}{\sqrt{3}}\sin\dfrac{5\alpha}{2} となる．

y=\sin x のグラフは 0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2} で上に凸だから \dfrac{\sin x}{x} はこの範囲で減少するので，\dfrac{\sin(5\alpha/2)}{5\alpha/2}\lt \dfrac{\sin\alpha}{\alpha} だから，{\rm OP}_1(T)\leqq2\cdot \dfrac{1000}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{5}{2} \sin\alpha\leqq 2\cdot \dfrac{1000}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{1}{1000}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{25}{3}}\lt3

{\rm OP}_2(T)，{\rm OP}_3(T) についても同様である．