2022年(令和4年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.26記

[1] $a,b$ を実数とする。座標平面上の放物線 $y=x^2+ax+b$ を $C$ とおく。 $C$ は，原点で垂直に交わる2本の接線 $\ell_1,\ell_2$ を持つとする。ただし， $C$ と $\ell_1$ の接点 ${\rm P}_1$ の $x$ 座標は， $C$ と $\ell_2$ の接点 ${\rm P}_2$ の $x$ 座標より小さいとする。

(1) $b$ を $a$ で表せ。また $a$ の値はすべての実数をとりうることを示せ。

(2) $i=1,2$ に対し，円 $D_i$ を，放物線 $C$ の軸上に中心を持ち，点 ${\rm P}_i$ で $\ell_i$ と接するものと定める。 $D_2$ の半径が $D_1$ の半径の2倍となるとき， $a$ の値を求めよ。

[2] $y=x^3-x$ により定まる座標平面上の曲線を $C$ とする。 $C$ 上の点 ${\rm P}(\alpha,\alpha^3-\alpha)$ を通り，点 $\rm P$ における $C$ の接線と垂直に交わる直線を $\ell$ とする。 $C$ と $\ell$ は相異なる3点で交わるとする。

(1) $\alpha$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $C$ と $\ell$ の点 $\rm P$ 以外の2つの交点の $x$ 座標を $\beta,\gamma$ とする。ただし $\beta\gt\gamma$ とする。 $\beta^2+\beta\gamma+\gamma^2-1\neq 0$ となることを示せ。

(3) (2) の $\beta,\gamma$ を用いて，
$u=4\alpha^3+\dfrac{1}{\beta^2+\beta\gamma+\gamma^2-1}$
と定める。このとき， $u$ のとりうる値の範囲を求めよ。

[3] 数列 $\{a_n\}$ を次のように定める。
$a_1=4$ ， $a_{n+1}=a_n^2+n(n+2)$ （ $n=1,2,3,\cdots\cdots$ ）

(1) $a_{2022}$ を $3$ で割った余りを求めよ。

(2) $a_{2022}$ ， $a_{2023}$ ， $a_{2024}$ の最大公約数を求めよ。

[4] $\rm O$ を原点とする座標平面上で考える。 $0$ 以上の整数 $k$ に対して，ベクトル $\vec{v_k}$ を
$\vec{v_k}=\left(\cos\dfrac{2k\pi}{3},\sin\dfrac{2k\pi}{3}\right)$
と定める。投げたとき表と裏がどちらも $\dfrac{1}{2}$ の確率で出るコインを $N$ 回投げて，座標平面上に点 ${\rm X}_{0}$ ， ${\rm X}_{1}$ ， ${\rm X}_{2}$ ，……， ${\rm X}_{N}$ を以下の規則 (i),(ii) に従って定める。