2011年(平成23年)東京大学後期-総合科目ＩＩ[1]A - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] この問題では，商業活動における意思決定のプロセスにおいて，最適に行動するにはどのようにすればよいかを，数学を用いて考える．

A
ある商店街に3軒の肉屋 X, Y, Z があり，いずれも唐揚げを売っている．肉屋 X, Y, Z は，同じ量の唐揚げを注文してもそれぞれ調理時間が異なり，かつ注文する量が多いほど時間が長くかかる．肉屋 X, Y, Z への注文量をそれぞれ $x[\mbox{kg}]$ ， $y[\mbox{kg}]$ ， $z[\mbox{kg}]$ ，調理時間をそれぞれ $s$ 分， $t$ 分， $u$ 分とすると， $x\gt 0$ のとき $s=4+\dfrac{2}{3}x$ ， $y\gt 0$ のとき $t =6+\dfrac{1}{3}y$ ， $z\gt 0$ のとき $u=7+z$ の関係がある．また $x=0$ のとき $s = 0$ ， $y=0$ のとき $t=0$ ， $z=0$ のとき $u=0$ である．

今，Aさんが唐揚げを合計 $a[\mbox{kg}]$ 注文するものとする．（ただし $a$ は正の実数である．）その際，A さんは複数の肉屋に分けて同時に注文してもよく，その場合には注文したそれぞれの店で要した調理時間の最大値が A さんの待ち時間になり，その値を $T$ 分とおく．また，1軒の肉屋だけに注文する場合には，その店で要した調理時間が A さんの待ち時間 $T$ になる．

Aさんは待ち時間 $T$ をできるだけ短くしようと試みる．そのために，全体の注文量 $a$ を，それぞれの肉屋にどのように振り分けて注文すればよいかを考える．その際，注文しない肉屋があってもよい．また，複数の肉屋に分けて注文する場合，待ち時間を最短にするためには，注文したそれぞれの店で要した調理時間をすべて等しくすればよいことが知られている．なぜなら，もし調理時間にバラつきがあるなら，調理時間が長くかかる店の注文量の一部を調理時間が短い店に振り分ければ，全体の待ち時間を短くすることができるからである．解答にあたっては，この事実を用いてよい．

(A-1) まず，肉屋 Z が休業中で，注文できる肉屋は X, Y の2軒に限られる状況を考える．このとき，注文量の合計が $a=2$ ， $a=6$ のそれぞれの場合について，肉屋 X, Y への注文量 $x$ ， $y$ および A さんの待ち時間 $T$ を求めよ．