2020.10.14記
がある．以下，16個の点
から異なる5個の点を選ぶことを考える．
(1)次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りあるか．
上の8本の直線のうち，選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある．
(2)次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りあるか．
上の8本の直線は，いずれも選んだ点を少なくとも1個含む．
2020.02.27記
(1) (a) 2本の直線が縦の2本の場合
縦の2本の選び方が6通りある。
残りの縦の2直線において、座標が重複しているものをどれにするかが4通りで、残りの3つを2本の直線のいずれにするかが8通り
であるから通り。
(b) 2本の直線が横の2本の場合は、(a)と同様に192通り
(c) 縦と横の1本ずつの場合
2直線の交点の選び方は16通りある。
そのそれぞれについて、残りの9個の点のうち5点を選ぶと、座標のいずれかの値は3種類とるので、
3本目の直線が存在する場合を全体から引くことにする。
3本目の選び方は6通りあり、その直線上にない格子点6個のうち1つを選ぶ選び方は6通りだから、
3本目の直線が存在するのは36通り。よって存在しない場合は通り。
よって、通り。
以上、(a)〜(c)によ、1824通り。
(2) 選んだ点を含まない直線が存在する場合を全体から引けば良い。以下、選んだ点を含まない直線の本数とそれに対する場合の数を考える。
5点を選ぶので、縦の直線の本数、横の直線の本数は2本以下であり、縦横2本ずつにはならないので、
選んだ点を含まない直線の本数は3本以下である。
(i) 3本のとき、
(1)(c) で除いた通りのうち、縦または横の2本の場合はそれを選ぶ順番の重複を考慮すると、その丁度半分の
通りある。
(ii) 2本のとき、
(1)の1824通りある。
(iii) 1本のとき
直線の選び方は8通りある。
その直線が横の直線であるとする。
5点で4種類のx座標を覆うので、x座標が重複しているものは1つで、その選び方は4通り。
x座標が重複しているもので欠けているy座標の選び方は3通りで、それぞれに対して埋められないのは8通りあるので、
y座標3種類とるのは通り。
これは縦の直線であっても同じだから、求める場合の数は通り。
よって求める場合の数は
通り。
(2) (i) 5点のうち4点で8本の直線を覆う場合
□□□●
□□●□
□●□□
●□□■
の 並べ替えで、その場合の数は4つの数の置換の24通りそれぞれに残りの12点選ぶ方法だから288通り
(ii) 5点のうちどの4点でも8本の直線を覆えない場合
□●□□
□●□□
□×●●
■□□□
の並べ替えで、■の選び方は16通り、×の選び方は9通りで、その後●の場所は自動的に決まるので、
合計通り。
以上を合わせて432通り。
この別解は説明しにくいなぁ。この解法にはどの予備校も2020.02.27時点では気付いてなさそうだ。
まぁ、これで全てを尽くしていることが直感的にわかりにくいというのもあるけど。
次のように説明してみるか。
[別解](2) の補足
座標が重複しているものが1つあり、
座標が重複しているものが1つある。
(i)その重複している座標が選ばれるとき、
□□□●
□□●□
●×□□
■●□□
の並べ替えで、■の選び方は16通り、×の選び方は9通りで、その後●の場所は2通りだから
合計通り。
(i)その重複している座標が選ばれないとき、
□□□■
●□□□
●□□□
×●●□
の並べ替えで、■の選び方は16通り、×の選び方は9通りで、その後●の場所は自動的に決まるので、
合計通り。
(×の選び方が16通り、●の選び方が通りで、■の場所は自動的に決まる、の方が自然か)
以上を合わせて432通り。
とする方が全ての場合を尽くしていることがわかって良いな。この数え方は自画自賛して良いレベル。
ところで、選んだ点を1個も含まない直線の本数が1本の場合と2本の場合の本数がともに1824通りになるのは
何か対応がつくのだろうか？
