2012年(平成24年)東京大学後期-総合科目ＩＩ[2]A - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 単純な操作を組み合わせて複雑な運動や図形を生み出すプロセスについて考える．

A
図1のように長さ $l_1$ の剛体の棒 $L_1$ と長さ $l_2$ の剛体の棒 $L_2$ が連結されたロボットアームを考える． $L_1$ の片方の端は原点 $\rm O$ に固定されていて，他方の端は $L_1$ の一方の端と関節 ${\rm O}'$ で結ばれている． $L_2$ の他方の端を手先 $\rm E$ と呼ぶことにする．関節 $\rm O$ ， ${\rm O}'$ にはモーターが組み込まれており，紙面に垂直な軸を中心として回転できるものとする． $L_1$ が $x$ 軸となす角度を $\theta_1$ ， $L_2$ が $L_2$ となす角度を $\theta_2$ とする．ただし $\theta_1$ ， $\theta_2$ は反時計回りを正とする．

図1

(A-1) 手先 $\rm E$ の位置 $(x,y)$ を $\theta_1$ ， $\theta_2$ ， $l_1$ ， $l_2$ を用いて表せ．

(A-2) 手先 $\rm E$ の通過し得る領域を図示せよ．ただし，回転角 $\theta_1$ ， $\theta_2$ は独立に自由な値をと
り得るものとする．

(A-3) 手先 $\rm E$ の速度ベクトル $\Bigl(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\Bigr)$ と $L_1$ ， $L_2$ それぞれの回転角の速度 $\dfrac{d\theta_1}{dt}$ ， $\dfrac{d\theta_2}{dt}$ の間には以下の関係式が成り立つ．
$\begin{pmatrix} \dfrac{dx}{dt} & \dfrac{dy}{dt} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a & b \\ c& d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac{d\theta_1}{dt} & \dfrac{d\theta_2}{dt} \end{pmatrix}$
$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を $\theta_1$ ， $\theta_2$ ， $l_1$ ， $l_2$ を用いて表せ．

(A-4) 設問(A-3)で求めた $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ の間に $ad - bc = 0$ という関係が成り立つのは $\theta_1$ ， $\theta_2$ がどのような場合か．また，このとき手先 $\rm E$ の速度ベクトルにどのような制限が加わるか答えよ．

(A-5) 関節 $\rm O$ のモーターのみの回転運動によって生じる手先 $\rm E$ の速度ベクトル $\vec{u}$ と，関節 ${\rm O}'$ のモーターのみの回転運動によって生じる手先 $\rm E$ の速度ベクトル $\vec{v}$ について考える．速度ベクトル $\vec{u}$ ， $\vec{v}$ が直交し得るための $l_1$ ， $l_2$ の関係を求めよ．

2021.02.15記

[解答]