2020.08.24記
原点を とし,平面上の2点 , をとる. を直径とし点 を通る半円を とする.長さ の糸が一端を に固定して, に巻きつけてある.この糸の他端 を引き,それが 軸に到達するまで,ゆるむことなくほどいてゆく.糸と半円との接点を とし の大きさを とする(図を見よ).
図省略
(i) ベクトル を を用いて表せ.
(ii) がえがく曲線と, 軸および 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
本問のテーマ
円の伸開線
ガウス-グリーンの定理
ガウス-グリーンの定理
2020.08.24記
(2) 面積は
縦に切る
横に切る (高校では での場合分けが推奨される)
そして、これらの平均として得られる(って書いてある本はほとんど見たことないが)、いわゆるガウス-グリーンの定理
の中から一番簡単そうなものを選ぶ.
真面目に糸が の間に掃く面積を一次近似して求めてみよう.
大雑把には扇型 で近似できそうだが、よりきちんと評価しておく.
図形を 中心に 回転すると
,
,
,
に移る.
四角形 の面積は、(3点は1次近似において同一直線上)だから、
で一次近似できる.
よって,求める面積 は,半円の面積とあわせて
となる.
ちなみに伸開線の長さは、 と近似されることから
となる.
一般に,単位円の伸開線が掃く面積および弧長は,開いた角度 を用いて および で与えられることがわかる.