2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.23記
フィボナッチではないが，階段を1段または2段でのぼるときの漸化式の作り方を思い出そう．最初が2文字か1文字かで場合分けをすれば良い．

[解答]

(1) $n$ 文字目が A である確率を $a_n$ とおく．
$n+2$ 文字目が A である確率は，最初の文字が AA かそれ以外で場合分けして
$a_{n+2}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}a_{n+1}$
が成立する． $a_1=\dfrac{1}{2}$ ， $a_2=\dfrac{3}{4}$ であるから，
$a_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)^{n-1}$
である．

(2) $n-1$ 文字目が A で $n$ 文字目が B である確率を $b_n$ とおく．
最初の文字が AA かそれ以外で場合分けして
$b_{n+2}=\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{1}{2}b_{n+1}$
が成立する． $b_2=0$ ， $b_3=\dfrac{1}{12}$ であるから，
$a_n=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{9}\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)^{n-1}$
である．

東大入試・50年の軌跡のフォローノートの別解はすばらしいので買いましょう．