2023年(令和5年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.22記

[1] (1) 正の整数 $k$ に対し， $A_k=\displaystyle\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}|\sin(x^2)|dx$ とおく．次の不等式が成り立つことを示せ．
$\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_k \leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$

(2) 正の整数 $n$ に対し，
$B_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}}|\sin(x^2)|dx$
とおく．極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n$ を求めよ．

[2] 黒玉3個，赤玉4個，白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる．ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする．

(1) どの赤玉も隣り合わない確率 $p$ を求めよ．

(2) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ．

[3] $a$ を実数とし，座標平面上の点 $(0，a)$ を中心とする半径1の円の周を $C$ とする．

(1) $C$ が，不等式 $y\gt x^2$ の表す領域に含まれるような $a$ の範囲を求めよ．

(2) $a$ は(1)で求めた範囲にあるとする． $C$ のうち $x\geqq0$ かつ $y\lt a$ を満たす部分を $S$ とする． $S$ 上の点 $\mbox{P}$ に対し，点 $\mbox{P}$ での $C$ の接線が放物線 $y=x^2$ によって切り取られてできる線分の長さを $L_{\small\mbox{P}}$ とする． $L_{\small\mbox{Q}}=L_{\small\mbox{R}}$ となる $S$ 上の相異なる2点 $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ が存在するような $a$ の範囲を求めよ．

[4] 座標空間内の4点 $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(2，0，0)$ ， $\mbox{B}(1，1，1)$ ， $\mbox{C}(1，2，3)$ を考える．

(1) $\overrightarrow{\mbox{OP}}\perp\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OP}}\perp\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OC}}=1$ を満たす点 $\mbox{P}$ の座標を求めよ．

(2) 点 $\mbox{P}$ から直線 $\mbox{AB}$ に垂線を下ろし，その垂線と直線 $\mbox{AB}$ の交点を $\mbox{H}$ とする． $\overrightarrow{\mbox{OH}}$ を $\overrightarrow{\mbox{OA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{OB}}$ を用いて表せ．

(3) 点 $\mbox{Q}$ を $\displaystyle\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OP}}$ により定め， $\mbox{Q}$ を中心とする半径 $r$ の球面 $S$ を考える． $S$ が三角形 $\mbox{OHB}$ と共有点を持つような $r$ の範囲を求めよ．ただし，三角形 $\mbox{OHB}$ は3点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{H}$ ， $\mbox{B}$ を含む平面内にあり，周とその内部からなるものとする．

[5] 整式 $f(x)={(x-1)}^2(x-2)$ を考える．

(1) $g(x)$ を実数を係数とする整式とし， $g(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $r(x)$ とおく． ${g(x)}^7$ を $f(x)$ で割った余りと ${r(x)}^7$ を $f(x)$ で割った余りが等しいことを示せ．

(2) $a$ ， $b$ を実数とし， $h(x)=x^2+ax+b$ とおく． ${h(x)}^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_1(x)$ とおき， ${h_1(x)}^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_2(x)$ とおく． $h_2(x)$ が $h(x)$ に等しくなるような $a$ ， $b$ の組をすべて求めよ．

[6] $\mbox{O}$ を原点とする座標空間において，不等式 $|x|\leqq1$ ， $|y|\leqq1$ ， $|z|\leqq1$ の表す立方体を考える．その立方体の表面のうち， $z\lt 1$ を満たす部分を $S$ とする．以下，座標空間内の2点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ が一致するとき，線分 $\mbox{AB}$ は点 $\mbox{A}$ を表すものとし，その長さを $0$ と定める．

(1) 座標空間内の点 $\mbox{P}$ が次の条件(i)，(ii)をともに満たすとき，点 $\mbox{P}$ が動きうる範囲 $V$ の体積を求めよ．

(i) $\mbox{OP}\leqq\sqrt{3}$

(ii) 線分 $\mbox{OP}$ と $S$ は，共有点を持たないか，点 $\mbox{P}$ のみを共有点に持つ．

(2) 座標空間内の点 $\mbox{N}$ と点 $\mbox{P}$ が次の条件(iii)，(iv)，(v)をすべて満たすとき，点 $\mbox{P}$ が動きうる範囲 $W$ の体積を求めよ．必要ならば， $\displaystyle \sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$ を満たす実数 $\alpha$ $\displaystyle \left( 0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2} \right)$ を用いてよい．