2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

マルコフ過程(2021.02.05)

2021.02.05記

[大人の解答]

(1) $n$ 回繰り返した後の白の枚数と黒の枚数を $N_n$ とし， $\vec{X_n}=\begin{pmatrix} P(N_n=0) \\ P(N_n=2) \\ 初めてP(N_n=4) \end{pmatrix}$ とすると $\vec{X_0}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であり， $A=\begin{pmatrix} 0 & 3/4 & 0 \\ 1 & 0 & \textbf{0} \\ 0 & 1/4 & 0 \end{pmatrix}$ とおくと， $\vec{X_{n+1}}=A\vec{X_n}$ が成立する．
$A^2=\begin{pmatrix} 3/4 & 0 & 0 \\ 0 & 3/4 & 0 \\ 1/4 & 0& 0 \end{pmatrix}$ ， $A^3=\dfrac{3}{4}A$ により，
$(0,0,1)\vec{X_n}=(0,0,1)A^n\vec{X_0}$ $=(A^nの(3,1)成分)$
である．よって

$n$ が奇数のとき， $0$ ，
$n$ が偶数のとき， $\dfrac{1}{4}\Bigl(\dfrac{3}{4}\Bigr)^{\frac{n-2}{2}}$

(2) $n$ 回繰り返した後の白の枚数と黒の枚数を $N_n$ とし， $\vec{X_n}=\begin{pmatrix} P(N_n=0) \\ P(N_n=2) \\ P(N_n=4) \\ 初めてP(N_n=6) \end{pmatrix}$ とすると $\vec{X_0}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であり， $A=\begin{pmatrix} 0 & 5/6 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4/6 & 0 \\ 0 & 1/6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/6 & 0 \end{pmatrix}$ とおくと， $\vec{X_{n+1}}=A\vec{X_n}$ が成立する．
$A^2=\begin{pmatrix} 5/6 & 0 & 5/9 & 0 \\ 0 & 17/18 & 0 & 0 \\ 1/6 & 0 & 1/9 & 0 \\ 0 & 1/18 & 0 & 0\end{pmatrix}$ ，
$A^3=\begin{pmatrix} 0 & 85/108 & 0 & 0 \\ 17/18 & 0 & 17/27 & 0 \\ 0 & 17/108 & 0 & 0 \\ 1/18 & 0 & 1/27 & 0 \end{pmatrix}$ ， $A^4=\dfrac{17}{18}A^2$ により，
$(0,0,0,1)\vec{X_n}=(0,0,0,1)A^n\vec{X_0}$ $=(A^nの(4,1)成分)$
である．よって

$n$ が3以上の奇数のとき， $\dfrac{1}{18}\Bigl(\dfrac{17}{18}\Bigr)^{\frac{n-3}{2}}$
$n$ が1または偶数のとき， $0$

(1) で $P(N=4)$ となったらゲーム終了、という設定の場合，終了している確率は
$B=\begin{pmatrix} 0 & 3/4 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/4 & \textbf{1} \end{pmatrix}$ とおくと， $\vec{X_{n+1}}=B\vec{X_n}$ が成立するので， $B^n$ の $(3,1)$ 成分になる．

(1) の $A$ の固有方程式は $\lambda\Bigl(\lambda^2-\dfrac{3}{4}\Bigr)=0$ なので $A^3=\dfrac{3}{4}A$ ，
(2) の $A$ の固有方程式は $\lambda^2\Bigl(\lambda^2-\dfrac{17}{18}\Bigr)=0$ なので $A^4=\dfrac{17}{18}A^2$
が成立します．