2023年(令和5年)早稲田大学理工学部-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.12.20記

[4] 複素数平面上に $2$ 点 $\mbox{A}(1)$ ， $\mbox{B}(\sqrt{3}i)$ がある．ただし， $i$ は虚数単位である．複素数 $z$ に対し $w=\dfrac{3}{z}$ で表される点 $w$ を考える．以下の問に答えよ．

(1) $z=1$ ， $\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$ ， $\sqrt{3}i$ のときの $w$ をそれぞれ計算せよ．

(2) 実数 $t$ に対し $z=(1-t)+t\sqrt{3}i$ とする． $\alpha=\dfrac{3-\sqrt{3}i}{2}$ について， $\alpha z$ の実部を求め，さらに $(w-\alpha)\overline{(w-\alpha)}$ を求めよ．

(3) $w$ と原点を結んでできる線分 $\mbox{L}$ を考える． $z$ が線分 $\mbox{AB}$ 上を動くとき，線分 $\mbox{L}$ が通過する範囲を図示し，その面積を求めよ．

本問のテーマ

一次分数変換（メビウス変換）の円々対応

2023.12.20記
正確には，反転して原点中心に3倍拡大して複素共役をとったもの．

(2) の $z=(1-t)+t\sqrt{3}i$ は直線 $\mbox{AB}$ でそれを $\alpha=\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}$ 倍するので直線ABを原点中心 $-\dfrac{\pi}{6}$ 回転 $\sqrt{3}$ 倍拡大した $\mbox{Re}(\alpha z)=\dfrac{3}{2}$ となる．

$w=f(z)$ とおくと， $\alpha$ は $f(\mbox{A})$ ， $f(\mbox{B})$ の中点となっているので，直線 $\mbox{AB}$ の像は $f(\mbox{A})f(\mbox{B})$ を直径とする円，つまり中心が $\alpha$ の円となる．これを気付かせるために $(w-\alpha)\overline{(w-\alpha)}=|w-\alpha|^2$ を計算させ，その結果が定数となることから円に気付かせるという訳である．

[解答]
(1) $z=1$ のとき $w=3$ ，
$\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$ のとき $w=\dfrac{3(1-\sqrt{3}i)}{2}$ ，
$\sqrt{3}i$ のとき $w=-\sqrt{3}i$
である．

(2) $\alpha z=\dfrac{3-(4t-1)\sqrt{3}i}{2}$ により $\mbox{Re}(\alpha z)=\dfrac{3}{2}$

$(w-\alpha)\overline{(w-\alpha)}$ $=\dfrac{(3-\alpha z)\overline{(3-\alpha z)}}{|z|^2}$
$=\dfrac{9-3\cdot 2\cdot \mbox{Re}(\alpha z)3+|\alpha|^2|z|^2}{|z|^2}$ $=|\alpha|^2=3$

(3) $0\leqq \mbox{arg}(z)\leqq \dfrac{\pi}{2}$ より
$0\geqq \mbox{arg}(w)=\mbox{arg}\left(\dfrac{3}{z}\right)\geqq -\dfrac{\pi}{2}$ となるので線分 $\mbox{AB}$ の像は円 $|w-\alpha|=\sqrt{3}$ の第4象限(および軸)の部分となる．

よって線分 $L$ の通過範囲は円 $|w-\alpha|=\sqrt{3}$ の周または内部の第4象限(および軸)の部分となる（図示略）．

よってその面積は半円と直角3角形の面積に分割して
$\dfrac{3\pi+3\sqrt{3}}{2}$