2023年(令和5年)早稲田大学理工学部-数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.12.20記

[5] $xyz$ 空間において， $3$ 点 $\mbox{A}(2,1,2)$ ， $\mbox{B}(0,3,0)$ ， $\mbox{C}(0,-3,0)$ を頂点とする三角形 $\mbox{ABC}$ を考える．以下の問に答えよ．

(1) $\angle\mbox{BAC}$ を求めよ．

(2) $0\leqq h\leqq 2$ に対し，線分 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AC}$ と平面 $x=h$ との交点をそれぞれ $\rm P$ ， $\rm Q$ とする．点 $\rm P$ ， $\rm Q$ の座標を求めよ．

(3) $0\leqq h\leqq 2$ に対し，点 $(h,0,0)$ と線分 $\rm PQ$ の距離を $h$ で表せ．ただし，点と線分の距離とは，点と線分上の点の距離の最小値である．

(4) 三角形 $\rm ABC$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させ，そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積を求めよ．

2023.12.20記
有名問題で，1990年頃に流行った．

[うまい解答]
(4) $\rm ABC$ を $xy$ 平面に正射影してできる
$\mbox{A}'(2,1)$ ， $\mbox{B}'(0,3)$ ， $\mbox{C}'(0,-3)$ を
$x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積
$\dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 3-\dfrac{1}{3}\pi\cdot 1^2\cdot \dfrac{3}{2}$ $=\dfrac{17}{2}\pi$
に等しい．

[解答]
(1) $\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=0$ から $\angle\mbox{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$

(2) 線分 $\mbox{BC}$ を点 $\rm A$ 中心に $\dfrac{2-h}{2}$ 倍拡大した点であるから
$\mbox{P}(h,3-h,h)$ ， $\mbox{B}(h,-3+2h,h)$
となる．

(3) $-3+2h\leqq 0\leqq 3-h$ ，つまり $0\leqq h\leqq\dfrac{3}{2}$ のとき，求める距離は $h$ である．

$\dfrac{3}{2}\leqq h\leqq 2$ のとき $\rm Q$ において最小値
$\sqrt{5h^2-12h+9}$ をとり，これが求める距離である．

(4) 題意の立体の $x=h$ による切り口の断面積を $S(h)$ とおくと，

$0\leqq h\leqq\dfrac{3}{2}$ のとき $S(h)=\pi(3-h)^2$ ，
$\dfrac{3}{2}\leqq h\leqq 2$ のとき $S(h)=\pi(-3h^2+6h)$

であるから，求める体積 $V$ は
$V$ $=\displaystyle\int_0^2 S(h)dh$ $=\displaystyle\int_0^{3/2} \pi(3-h)^2dh$ $+\displaystyle\int_{3/2}^2 \pi(-3h^2+6h)dh$ $=\dfrac{63}{8}\pi+\dfrac{5}{8}\pi$ $=\dfrac{17}{2}\pi$
となる．