1988年(昭和63年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[1] $xy$ 平面上の一次変換 $f$ が次の $3$ 条件をみたすとする．

(i) 点 $(1,0)$ は $f$ により第4象限の内部にうつる．

(ii) 点 $(0,1)$ は $f$ により第2象限の内部にうつる．

(iii) 点 $(1,1)$ は $f$ により第1象限の内部にうつる．

このとき $f$ には逆変換が存在することを示せ．また，点 $\mbox{P}$ の像 $f(\mbox{P})$ が第1象限の内部にあれば，点 $\mbox{P}$ も第1象限の内部にあることを示せ．

[2] 空間内に平面 $\alpha$ がある．一辺の長さ1の正四面体 $V$ の $\alpha$ 上への正射影の面積を $S$ とし， $V$ がいろいろと位置を変えるときの $S$ の最大値と最小値を求めよ．

ただし，空間の点 $\mbox{P}$ を通って $\alpha$ に垂直な直線が $\alpha$ と交わる点を $\mbox{P}$ の $\alpha$ 上への正射影といい，空間図形 $V$ の各点の $\alpha$ 上への正射影全体のつくる $\alpha$ 上の図形を $V$ の $\alpha$ 上への正射影という．

[3] $C$ を $y=x^3-x$ ， $-1\leqq x\leqq 1$ で与えられる $xy$ 平面上の図形とする．次の条件をみたす $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}$ 全体の集合を図示せよ．

「 $C$ を平行移動した図形で，点 $\mbox{P}$ を通り，かつもとの図形 $C$ との共有点がただ1点であるようなものが，ちょうど3個存在する．」

[4] $xy$ 平面上で原点から傾き $a$ （ $a\gt 0$ ）で出発し折れ線状に動く点 $\mbox{P}$ を考える．ただし，点 $\mbox{P}$ の $y$ 座標はつねに増加し，その値が整数になるごとに動く方向の傾きが $s$ 倍（ $s\gt 0$ ）に変化するものとする．

$\mbox{P}$ の描く折れ線が直線 $x=b$ （ $b\gt 0$ ）を横切るための $a$ ， $b$ ， $s$ に関する条件を求めよ．

[5] $xyz$ 空間において， $xz$ 平面上の $0\leqq z\leqq 2-x^2$ で表される図形を $z$ 軸のまわりに回転して得られる不透明な立体を $V$ とする． $V$ の表面上 $z$ 座標1のところにひとつの点光源 $\mbox{P}$ がある．

$xy$ 平面上の原点を中心とする円 $C$ の， $\mbox{P}$ からの光が当たっている部分の長さが $2\pi$ であるとき， $C$ のかげの部分の長さを求めよ．

[6] 空間内の点 $\mbox{O}$ に対して， $4$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ を $\mbox{OA}=1, \quad \mbox{OB}=\mbox{OC}=\mbox{OD}=4$ をみたすようにとるとき，四面体 $\mbox{ABCD}$ の体積の最大値を求めよ．