2023年(令和5年)早稲田大学理工学部-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.12.20記

[3] 実数 $x$ に対して関数 $f(x)$ を $f(x)=e^{x-2}$ で定め，正の実数 $x$ に対して関数 $g(x)$ を $g(x)=\log x+2$ で定める．また， $y=f(x)，y=g(x)$ のグラフをそれぞれ， $C_1，C_2$ とする．以下の問に答えよ．

(1) $f(x)$ と $g(x)$ がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ．

(2) 直線 $y=x$ と $C_1$ が $2$ 点で交わることを示せ．ただし，必要なら $2\lt e\lt 3$ を証明しないで用いてよい．

(3) 直線 $y=x$ と $C_1$ との $2$ つの交点の $x$ 座標を， $\alpha，\beta$ とする．ただし $\alpha\lt\beta$ とする．直線 $y=x$ と， $C_1，C_2$ をすべて同じ $xy$ 平面上に図示せよ．

(4) $C_1$ と $C_2$ で囲まれる図形の面積を(3)の $\alpha$ と $\beta$ の多項式で表せ．

2023.12.20記

[解答]
(1) $y=f(x)=e^{x-2}$ （ $x\in\mathbb{R}，y\gt 0$ ]）
は
$\log y=x-2$ （ $x\in\mathbb{R}，y\gt 0$ ]）
と同値であり，
$x=\log y+2=g(y)$ （ $y\gt 0，x\in\mathbb{R}$ ]）
と同値であるから $f，g$ は互いに逆関数である．

(2) $h(x)=f(x)-x$ とおくと $h'(x)=e^{x-2}-1$ となるので増減表は

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$+\infty$
$h'$		$-$	$0$	$+$
$h$	$+\infty$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

となり，よって直線 $y=x$ と $C_1$ が $2$ 点で交わる．

(3) $h(0)=e^{-2}\gt 0$ ， $h(1)=e^{-1}-1\lt 0$ ， $h(3)=e-3\lt 0$ ， $h(4)=e^2-4\gt 0$ により
$0\lt\alpha\lt 1$ ， $3\lt\beta\lt 4$ である． $C_1$ は下に凸， $C_2$ は上に凸であり，これらの2交点は $y=x$ 上にある．

これらに注意して図示すれば良い（図示略）．

(4) 求める面積を $S$ とすると
$S=\displaystyle\int_\alpha^\beta 2(x-e^{x-2})dx$ $=\beta^2-\alpha^2-2(e^{\beta-2}-e^{\alpha-2})$ $=\beta^2-\alpha^2-2(\beta-\alpha)$ $=(\beta-\alpha)(\alpha+\beta-2)$