2019年(平成31年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.12記

[1] 次の定積分を求めよ．
$\displaystyle\int_0^1\left(x^2+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\dfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx$

[2] 一辺の長さが1の正方形 $\mbox{ABCD}$ を考える．3点 $\mbox{P，Q，R}$ はそれぞれ辺 $\mbox{AB，AD，CD}$ 上にあり，3点 $\mbox{A，P，Q}$ および3点 $\mbox{P，Q，R}$ はどちらも面積が $\dfrac{1}{3}$ の三角形の3頂点であるとする． $\dfrac{\mbox{DR}}{\mbox{AQ}}$ の最大値，最小値を求めよ．

[3] 座標空間内に5点 $\mbox{A}(2, \, 0, \, 0)$ ， $\mbox{B}(0, \, 2, \, 0)$ ， $\mbox{C}(-2, \, 0, \, 0)$ ， $\mbox{D}(0, \, -2, \, 0)$ ， $\mbox{E}(0, \, 0, \, -2)$ を考える．線分 $\mbox{AB}$ の中点 $\mbox{M}$ と線分 $\mbox{AD}$ の中点 $\mbox{N}$ を通り，直線 $\mbox{AE}$ に平行な平面を $\alpha$ とする．さらに， $p$ は $2\lt p\lt 4$ をみたす実数とし，点 $\mbox{P}(p, \, 0, \, 2)$ を考える．

(1) 八面体 $\mbox{PABCDE}$ の平面 $y=0$ による切り口および，平面 $\alpha$ の平面 $y=0$ による切り口を同一平面上に図示せよ．

(2) 八面体 $\mbox{PABCDE}$ の平面 $\alpha$ による切り口が八角形となる $p$ の範囲を求めよ．

(3) 実数 $p$ が(2)で定まる範囲にあるとする．八面体 $\mbox{PABCDE}$ の平面 $\alpha$ による切り口のうち $y\geqq0$ ， $z\geqq0$ の部分を点 $(x, \, y, \, z)$ が動くとき，座標平面上で点 $(y, \, z)$ が動く範囲の面積を求めよ．

[4] $n$ を1以上の整数とする．

(1) $n^2+1$ と $5n^2+9$ の最大公約数 $d_n$ を求めよ．

(2) $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にならないことを示せ．

[5] 以下の問いに答えよ．

(1) $n$ を1以上の整数とする． $x$ についての方程式 $x^{2n-1}=\cos x$ は，ただ一つの実数解 $a_n$ をもつことを示せ．

(2) (1)で定まる $a_n$ に対し， $\cos a_n\gt\cos 1$ を示せ．

(3) (1)で定まる数列 $a_1, \, a_2, \, a_3, \, \cdots\cdots, \, a_n, \, \cdots\cdots$ に対し，
$\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}a_n，b=\lim_{n\to\infty}{a_n}^n，c=\lim_{n\to\infty}\frac{{a_n}^n-b}{a_n-a}$
を求めよ．