2009年(平成21年)山梨大学医学部後期-数学[1](3) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.10.22記

[1](3)
2次正方行列 $X$ が
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}X+X\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ を満たすとき， $X^{101}= \begin{pmatrix} \textrm{［ク］} & \textrm{［ケ］} \\ \textrm{［コ］} & \textrm{［サ］} \end{pmatrix}$ である．

本問のテーマ

シルベスタ(Sylvester)方程式
行列のクロネッカ積

2022.10.22記
シルベスタ方程式は $AX+XB=C$ の形の方程式一般を指す．ここでは $A=B$ の場合である．
$AX-XB=Y$ の形のシルベスタ方程式は
2004年(平成16年)京都大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
に出題されており，本問も行列のクロネッカ積を用いて解くことができる．

しかしながら，クロネッカ積を用いると4次行列となるので，そのまま成分計算で解く方が速い．先に成分計算で解いた後にクロネッカ積を用いて解くことにする．

[解答]
$X=\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ とおくと
$\begin{pmatrix} x & y \\ x+z & y+w \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x+y & y \\ z+w & w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ ，
つまり
$\begin{pmatrix} 2x+y & 2y \\ x+2z+w & y+2w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
から $x=1$ ， $y=1$ ， $z=0$ ， $w=1$ となり，
$X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となる．
ここで単位行列 $I$ と零行列 $O$ に対して $(X-I)^2=O$ が成立するので，
$X^{101}=(I+X-I)^{101}=I+101(X-I)$ $=\begin{pmatrix} 1 & 101 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
となる．

この $X$ を行列のクロネッカ積を用いて求めてみよう．

[大人の解答]
$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ， $C=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ とおくと，行列のクロネッカ積と vec 作用素を用いて $AX+XA=AXI+IXA=C$ ( $I$ は2次単位行列)は
$(I\otimes A+A^{\top}\otimes I)\mbox{vec}(X)=\mbox{vec}(C)$
と変形できる，つまり
$\begin{pmatrix} A+I & I \\ O & A+I \end{pmatrix}\mbox{vec}(X)=\mbox{vec}(C)$
と表すことができ，
$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0\\1 & 2 & 0 & 1\\0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\mbox{vec}(X)= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$
が得られるので
$\mbox{vec}(X)=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$
となり， $X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ となる．

(以下、[解答]と同じ)