[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

[1] (a) $y=a\tan^{-1}\dfrac{a}{x}$ ノ微分係數ヲ求ム．

(b) $y=x^x$ ノ微分係數ヲ求ム．

2019.03.27記

[1] (a) $y=a\tan^{-1}\dfrac{a}{x}$ の微分係数を求めよ。

(b) $y=x^x$ の微分係数を求めよ。

基本問題。

(a) $\tan^{-1}x$ の微分が $\dfrac{1}{1+x^2}$ であるから， $a\cdot\dfrac{1}{1+(a/x)^2}\cdot\left(-\dfrac{a}{x^2}\right)=-\dfrac{a^2}{x^2+a^2}$

(b) $\log y=x\log x$ より $\dfrac{y'}{y}=\log x+ 1$ となるので、 $y'=x^x(1+\log x)$

(c) $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sin x}=\int\dfrac{1}{\tan(x/2)}\cdot\dfrac{1}{2\cos^2(x/2)}dx=\log\left|\tan\dfrac{x}{2}\right|+C$

$\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ により $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\cos x}=\log\left|\tan\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right|+C$