2015年(平成27年)東北大学後期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.18記

$-1\lt x\lt 1$ の範囲で定義された関数 $f(x)$ で，次の2つの条件を満たすものを考える．

$f(x)+f(y)=f\Bigl(\dfrac{x+y}{1+xy}\Bigr)$ （ $-1\lt x\lt 1，-1\lt y\lt 1$ ）

$f(x)$ は $x=0$ で微分可能で，そこでの微分係数は1 である

(1) $-1\lt x\lt 1$ に対し $f(x)=-f(-x)$ が成り立つことを示せ．

(2) $f(x)$ は $-1\lt x\lt 1$ の範囲で微分可能であることを示し，導関数 $f'(x)$ を求めよ．

(3) $f(x)$ を求めよ．

本問のテーマ

逆双曲正接関数（双曲線関数）

2020.09.18記
逆双曲正接関数 $f(x)={\rm Artanh}\, x$ （または ${\rm Arctanh}\, x$ ）

(1) $x，y$ に適当な値を入れてみる

(2) $x=0$ での微分係数に帰着させるのが基本

(3) 微分方程式を解く

[解答]

(1) $x=y=0$ とおいて $f(0)=0$ である．次に $y=-x$ とおくと $f(x)+f(-x)=f(0)=0$ となるので
$f(x)=-f(-x)$ が成り立つ．

(2) $f(x+h)-f(x)=f(x+h)+f(-x)=f\Bigl(\dfrac{x+h-x}{1-(x+h)x}\Bigr)$ $=f\Bigl(\dfrac{h}{1-(x+h)x}\Bigr)$
だから， $k=\dfrac{h}{1-(x+h)x}$ とおくと， $h\to 0$ で $k\to 0$ だから，
$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{f(k)-f(0)}{h}$ $=\dfrac{f(k)-f(0)}{k}\cdot\dfrac{k}{h}\to f'(0)\cdot \dfrac{1}{1-x^2}$ $=\dfrac{1}{1-x^2}$
により， $f(x)$ は微分可能

(3) $f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}=\dfrac{1}{2}\Bigl\{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\Bigr\}$ であるから， $f(x)=\dfrac{1}{2}\log\Bigl|\dfrac{x+1}{x-1}\Bigr|+C$ で， $-1\lt x\lt 1，f(0)=0$ により，
$f(x)=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$

2024.04.20記
本問の $\dfrac{x+y}{1+xy}$ の形を見て思い出すのは，食塩水の問題(この話はブログでは書いてない)と
双曲正接関数の加法定理
$\tanh (a+b)=\dfrac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b}$
である．

$x=\tanh a$ ， $x=\tanh b$ と置換すると，本問は

（実数の範囲で定義された）関数 $f(\tanh a)$ で，次の2つの条件を満たすものを考える．

$f(\tanh a)+f(\tanh b)=f(\tanh (a+b))$ （ $a，b\in\mathbb{R}$ ）

$f(\tanh a)$ は $a=0$ で微分可能で，そこでの微分係数は1 である（ $(\tanh a)'|_{a=0}=1$ だから）

となる．つまり合成関数 $f\circ \tanh$ はコーシーの関数方程式
$F(x)+F(y)=F(x+y)$
をみたし，ある1点で微分可能となるので（その1点で連続となるので）その解は線形関数に限られる（ダルブーにより1875年に証明が与えられた），つまり
$f\circ \tanh (x)=kx$ （ $k$ は定数）
に限られることがわかる． $x=0$ での微分係数が 1 であるから
$f\circ \tanh (x)=x$
となり， $f$ は $\tanh$ の逆関数となる．

よって $x=\tanh y=\dfrac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}$ $=\dfrac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}$ から
$e^{2y}=\dfrac{x+1}{-x+1}=\dfrac{1+x}{1-x}$
となり，
$y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$
となる．