2008年(平成20年)京都大学前期-数学(理系乙)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.04記

[6] 地球上の北緯 $60^{\circ}$ 東経 $135^{\circ}$ の地点を $\rm A$ ，北緯 $60^{\circ}$ 東経 $75^{\circ}$ の地点を $\rm B$ とする． $\rm A$ から $\rm B$ に向かう2種類の飛行経路 $R_1$ ， $R_2$ を考える． $R_２$ は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。 $R_1$ は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする． $R_1$ に比べて $R_2$ は飛行距離が3％以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体であるとし，飛行機は高度0を飛ぶものとする．また必要があれば，この冊子の5ページと6ページの三角関数表を用いよ．

注：大円とは，球を球の中心を通る平面で切ったとき，その切り口にできる円のことである．

2020.09.04記

極座標で，北緯 $\theta$ ，東経 $\phi$ なる点 $(x,y,z)$ は
$x=\cos\theta\cos\phi$ ， $y=\cos\theta\sin\phi$ ， $x=\sin\theta$
となる．経度を $60^{\circ}$ ずらせば，
2008年(平成20年)京都大学前期-数学(理系甲)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
と同じ設定になる（ $\rm A，B$ が逆だが）．

地球の半径を1としても一般性を失わない．

北緯 $60^{\circ}$ のなす円の半径は $\dfrac{1}{2}$ で， $R_2$ の中心角は $60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}$ だから， $R_2=\dfrac{\pi}{6}$ となる．

地球を回転し， $\rm A，B$ の東経が $75^{\circ}$ 減るようにして，
北緯 $60^{\circ}$ 東経 $60^{\circ}$ の地点を $\rm A$ ，北緯 $60^{\circ}$ 経度 $0^{\circ}$ の地点を $\rm B$ としても良く，
このとき ${\rm A}\Bigl(\dfrac{1}{4}，\dfrac{\sqrt{3}}{4}，\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$ ， ${\rm B}\Bigl(\dfrac{1}{2}，0，\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$ となるので， $\angle{\rm AOB}=R_1$ から $\cos R_1=\dfrac{7}{8}=0.875$ となる．

三角関数表から $R_1\lt 29^{\circ}$ となり，また $R_2= 30^{\circ}$ であるから，
$\dfrac{R_1-R_2}{R_1} \gt \dfrac{1}{30} \gt 0.03$
となり， $R_1$ に比べて $R_2$ は飛行距離が3％以上短くなる．

球面三角法には，球面上の2点間の距離を求める距離の公式があり，

（大人の解法）
$\cos R_1=\sin 60^{\circ} \sin 60^{\circ}+\cos 60^{\circ}\cos 60^{\circ} \cos(135^{\circ}-75^{\circ})$ $=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$
である．

この公式は覚え易い．覚える必要などないけど．