1994年(平成6年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.10記

[1] $f(x)=x^4+x^3+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{24}$ ，
$g(x)=x^5+x^4+\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{1}{24}x+\dfrac{1}{120}$
とする．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．

(1) 任意の実数 $x$ に対し， $f(x)\gt 0$ である．

(2) 方程式 $g(x)=0$ はただひとつの実数解 $\alpha$ をもち， $-1\lt \alpha\lt 0$ となる．

[2] $a=\sin^2\dfrac{\pi}{5}$ ， $b=\sin^2\dfrac{2\pi}{5}$ とおく．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．

(1) $a+b$ および $ab$ は有理数である．

(2) 任意の自然数 $n$ に対し $(a^{-n}+b^{-n}){(a+b)}^n$ は整数である．

[3] $xyz$ 空間において条件 $x^2+y^2 \leqq z^2$ ， $z^2 \leqq x$ ， $0 \leqq z \leqq 1$ をみたす点 $\mbox{P}(x,y,z)$ の全体からなる立体を考える．この立体の体積を $V$ とし， $0\leqq k\leqq 1$ に対し， $z$ 軸と直交する平面 $z=k$ による切り口の面積を $S(k)$ とする．

(1) $k=\cos\theta$ とおくとき $S(k)$ を $\theta$ で表せ．ただし $0\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ とする．

(2) $V$ の値を求めよ．

[4] $0\lt c\lt 1$ とする． $0\leqq x \lt 1$ において連続な関数 $f(x)$ に対して
$f_1(x)=f(x)+\displaystyle\int_{0}^{c} f(t)\,dt$ ，
$f_2(x)=f(x)+\displaystyle\int_{0}^{c} f_1(t)\,dt$
とおく．以下，関数 $f_3(x)$ ， $f_4(x)$ ，… を順次
$f_n(x)=f(x)+\displaystyle\int_{0}^{c} f_{n-1}(t)\,dt$
（ $n=3$ ， $4$ ，…）により定める．また， $g(c)=\displaystyle\int_{0}^{c} f(t)\,dt$ とし， $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…に対し $g_n(c)=\displaystyle\int_{0}^{c} f_n(t)\,dt$ とおく．このとき， $0\lt x\lt 1$ を満たす任意の $x$ に対し $xf(x)=g(x)+x\displaystyle\lim_{n\to\infty} g_n(x)$ が成り立ち，さらに $f(0)=1$ となるような関数 $f(x)$ を求めよ．

[5] 大量のカードがあり，各々のカードに $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ の数字のいずれかの一つが書かれている．これらのカードから無作為に $1$ 枚をひくとき，どの数字のカードをひく確率も正である．さらに， $3$ の数字のカードをひく確率は $p$ であり， $1$ ， $2$ ， $5$ ， $6$ の数字のカードをひく確率はそれぞれ $q$ に等しいとする．

これらのカードから $1$ 枚をひき，その数字 $a$ を記録し，このカードをもとに戻して，もう $1$ 枚ひき，その数字を $b$ とする．このとき， $a+b\leqq 4$ となる事象を $A$ ， $a\lt b$ となる事象を $B$ とし，それぞれのおこる確率を $P(A)$ ， $P(B)$ と書く．