2023年(令和5年)東海大学医学部一日目-数学[1](5) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.10.08記

[1](5) 4 つの鋭角 $A，B，C，D$ が， $\cos A = \cos B \cos C$ ， $\sin B = \sin A \sin D$ という 2 つの関係式を満たしているとき， $\sin C \tan D$ を $B$ のみで表すと， $\sin C \tan D =$ ［オ］である．また， $\tan A \cos D$ を $C$ のみで表すと， $\tan A \cos D =$ ［カ］である．

本問のテーマ

直角球面三角形におけるネイピアの円（球面三角法）

2023.10.08記
球面三角法の公式については
球面三角法 - Wikipedia
参照．

[大人の解答]
$\mbox{PQR}$ を球面三角形とし辺 $\mbox{QR}$ ， $\mbox{RP}$ ， $\mbox{PQ}$ の長さをそれぞれ $A$ ， $B$ ， $C$ とし， $\angle\mbox{RPQ}=P$ ， $\angle\mbox{PQR}=Q$ ， $\angle\mbox{QRP}=R$ とする．

余弦定理により
$\cos A=\cos B\cos C + \sin B\sin C\cos P$
であるが， $\cos A = \cos B \cos C$ ， $\sin B\sin C\neq 0$ により $\cos P=0$ ，つまり $P=\dfrac{\pi}{2}$

正弦定理により
$\dfrac{\sin A}{\sin P}=\dfrac{\sin B}{\sin Q}$
だから， $P=\dfrac{\pi}{2}$ および $\sin B = \sin A \sin D$ から
$\sin Q=\sin D$

ここで正弦余弦定理により
$\sin A\cos Q=\cos B\sin C-\sin B\cos C\cos P=\cos B\sin C$
であり， $A，B，C$ は鋭角であるから $\sin A，\cos B，\sin C\gt 0$ となるので
$\cos Q\gt 0$ となり， $\sin Q=\sin D\gt 0$ とから $Q$ は鋭角であり，よって
$Q=D$ となる．

直角球面三角形の公式（ネイピアの円）により
$\tan B=\sin C\tan Q = \sin C\tan D$ （wikipedia の(R4,R5)に対応），
$\tan C=\cos Q\tan A=\cos D\tan A$ （wikipedia の(R6,R7)に対応）
だから

［オ］= $\tan B$ ，［カ］= $\tan C$

となる．

これを普通の解法に焼き直すために3次元極座標の知識を用いて座標にのせると
$\mbox{O}(0，0，0)$ ，
$\mbox{P}(1，0，0)$ ，
$\mbox{Q}(\cos C，\sin C，0)$ ，
$\mbox{R}(\cos B\cos C，\cos B\sin C，\sin B)$
となる．単位ベクトル $\vec{\mbox{OP}}$ ， $\vec{\mbox{OQ}}$ ， $\vec{\mbox{OR}}$ などに内積や外積を用いると球面三角法の各種公式を求めることができ，上記解答を再現することができるが，通常の三角法を使うために，球面上の点を直角，つまり直方体で考えられるように
$\mbox{O}(0，0，0)$ ，
$\mbox{P}(\cos B\cos C，0，0)$ ，
$\mbox{Q}(\cos B\cos C，\cos B\sin C，0)$ ，
$\mbox{R}(\cos B\cos C，\cos B\sin C，\sin B)$
のように設定する．

[解答]
$\cos A = \cos B \cos C$ …①， $\sin B = \sin A \sin D$ …②である．

$\mbox{O}(0，0，0)$ ，
$\mbox{P}(\cos B\cos C，0，0)$ ，
$\mbox{Q}(\cos B\cos C，\cos B\sin C，0)$ ，
$\mbox{R}(\cos B\cos C，\cos B\sin C，\sin B)$
とおく．

$\mbox{OR}=1$ ， $\angle\mbox{OPR}=\dfrac{\pi}{2}$ ，
$\mbox{OP}=\cos B\cos C=\cos A$ （∵①）
だから， $\angle\mbox{ROP}=A$ である．

よって $\vec{\mbox{PR}}=(0，\cos B\sin C，\sin B)$ とおくと
$\mbox{PR}=|\vec{\mbox{PR}}|=\sin A$
となる．②より
$\vec{\mbox{PR}}=(0，\cos B\sin C，\sin A\sin D)$
となるので， $z$ 座標から $\angle\mbox{RPQ}=D$ となり，
$\cos B\sin C=\mbox{PR}\cos D=\sin A\cos D$
が成立する．

よって
$\sin C \tan D=\dfrac{\sin A\cos D}{\cos B}\cdot \tan D$ $=\dfrac{\sin A\sin D}{\cos B}$
$=\dfrac{\sin B}{\cos B}$ （∵②）
$=\tan B$
であり，
$\tan A\cos D$ $=\dfrac{\sin A\cos D}{\cos A}$
$=\dfrac{\cos B\sin C}{\cos B\cos C}$ （∵①②）
$=\tan C$
となる．