2016年(平成28年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2016年(平成28年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.26記
普通に
$\vec{\rm PQ}\cdot\vec{\rm PR}\gt 0$ ，
$\vec{\rm QR}\cdot\vec{\rm QP}\gt 0$ ，
$\vec{\rm RP}\cdot\vec{\rm RQ}\gt 0$
を計算して図示すれば良いが，
1998年(平成10年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
と同じように考えると，

[解答]

$XY$ 平面で ${\rm A}(X,Y)$ とするとき，三角形 $\rm APQ$ が鋭角三角形となる必要十分条件は， $\rm PQ$ を直径とする円の外のうち， $\rm P$ を通り $\rm PQ$ に垂直な直線と $\rm Q$ を通り $\rm PQ$ に垂直な直線で挟まれた部分に $\rm A$ があることである．

よって， $X^2+Y^2\gt x^2+y^2$ かつ $|xX+yY|\lt x^2+y^2$
となる． $\rm A=R$ とすることにより，求める必要十分条件は
$1\gt x^2+y^2$ かつ $|x| \lt x^2+y^2$
となる．整理して
$x^2+y^2\lt 1$ かつ $\Bigl(x+\dfrac{1}{2}\Bigr) +y^2\gt \dfrac{1}{4}$ かつ $\Bigl(x-\dfrac{1}{2}\Bigr) +y^2\gt \dfrac{1}{4}$
となる．

（図示略）

同年の理科の
2016年(平成28年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
のように複素平面で考えて
複素平面上の3点のなす三角形が鋭角三角形となる条件 - 球面倶楽部零八式 mark II
を使うと見通しが良い．

このとき，2点が実軸上の点となるように平行移動，回転拡大をしておくと条件が簡単になる．

[別解]

$z=x+iy$ とおくと ${\rm P}(-z),,{\rm Q}(1),{\rm R}(z)$ の3点が鋭角三角形をなすという条件になる．

$z=0$ は不適なので $z\neq 0$ とすると

${\rm A}(-1),{\rm B}\Bigl(\dfrac{1}{z}\Bigr),{\rm C}(1)$ が鋭角3角形をなす条件となり，
$\angle\rm A$ が鋭角となる条件は $-1\lt \mbox{Re}\Bigl(\dfrac{1}{z}\Bigr)$ ，
$\angle\rm C$ が鋭角となる条件は $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{1}{z}\Bigr)\lt 1$ ，
$\angle\rm B$ が鋭角となる条件は $\Bigl|\dfrac{1}{z}-0\Bigr|\gt 1$
であるから，求める条件は
$-1\lt \mbox{Re}\Bigl(\dfrac{1}{z}\Bigr)\lt 1$ かつ $\Bigl|\dfrac{1}{z}\Bigr|\gt 1$
であり，整理すると
$-|z|^2\lt \mbox{Re}(\bar{z})\lt |z|^2$ かつ $|z|\lt 1$
となる．