2024年(令和6年)防衛医科大学校医学科-数学[1](択一)

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[1] 座標平面上に2つの放物線 $C_1:y=x^2+4$ ， $C_2:y=-x^2+ax-b$ （ $a，b$ は実数）がある． $C_1$ と $C_2$ が異なる2点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を共有し， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ どちらにおいても $C_1$ の接線と $C_2$ の接線が直交するとする．このとき $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha，\beta$ とすると， $\alpha\beta$ の値は $\fbox{　1　}$ である．さらに， $C_1，C_2$ で囲まれた部分の面積が $\sqrt{3}$ のとき $|ab|$ の値は $\fbox{　2　}$ である．

$\fbox{　1　}$ の選択肢
(1) $-\dfrac{1}{4}\qquad$ (2) $-\dfrac{1}{2}\qquad$ (3) $1\qquad$ (4) $\dfrac{1}{4}\qquad$ (5) $\dfrac{1}{2}\qquad$

$\fbox{　2　}$ の選択肢
(1) $4\sqrt{2}\qquad$ (2) $4\sqrt{3}\qquad$ (3) $5\sqrt{2}\qquad$ (4) $5\sqrt{3}\qquad$ (5) $6\sqrt{2}$

防衛医大の数学は択一、数字記入（共通テスト方式）、記述に分かれていて、択一と数字記入で一定以上得点をとらないと記述は採点されない方式である．

2023.10.29記(2024.02.20修正)

[解答]
$\beta\geqq \alpha$ として良い．
$C_1:y=f(x)=x^2+2$ ， $C_2:y=g(x)=-x^2+ax-b$ とすると，
$f'(x)g'(x)=2x(-2x+a)=-1$ ，つまり $4x^2-2ax-1=0$ の2解が $\alpha，\beta$ だから $\alpha\beta=-\dfrac{1}{4}$ である．

また，囲まれた部分の面積が $\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3=\sqrt{3}$ により $\beta-\alpha=\sqrt{3}$ となり，よって $\alpha+\beta=\sqrt{(\beta-\alpha)^2+4\alpha\beta}=\sqrt{2}$ となる．

束の考え方から， $C_1，C_2$ の2交点を通る直線の方程式は
$y=\dfrac{ax-b+2}{2}$
であり，これが
$y=\dfrac{(\beta^2+2)-(\alpha^2+2)}{\beta-\alpha}(x-\alpha)+\alpha^2+2$
$=(\alpha+\beta)x-\alpha\beta+2$ $=\sqrt{2}x+\dfrac{9}{4}$
となるので， $a=2\sqrt{2}$ ， $b=-\dfrac{5}{2}$ となり， $|ab|=5\sqrt{2}$ となる．