2021年(令和3年)京都大学-数学(文系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3]

$n$ を2以上の整数とする． $1$ から $n$ までの番号が付いた $n$ 個の箱があり，それぞれの箱には赤玉と白玉が1個ずつ入っている．このとき操作(*)を $k=1,\ldots,n-1$ に対して， $k$ が小さい方から順に1回ずつ行う．

(*) 番号 $k$ の箱から玉を1個取り出し，番号 $k+1$ の箱に入れてよくかきまぜる．

一連の操作がすべて終了した後，番号 $n$ の箱から玉を1個取り出し，番号 $1$ の箱に入れる．このとき番号 $1$ の箱に赤玉と白玉が1個ずつ入っている確率を求めよ．

2021.03.10記

[解答]

$1$ 番目の箱から選んだ色と $n$ 番目の箱から選んだ色が同じであれば良いので，その確率を求める．

$k$ 番目の箱の3つの玉から1つ選んだときに，それが $1$ 番目の箱から選んだ色と同じ確率を $p_k(（k\geqq 2）$ とおくと， $p_2=\dfrac{2}{3}$ である．

$k+1$ 番目の箱の中味が $1$ 番目の箱から選んだ色と同じ玉が2個で違う玉が1個である確率が $p_k$ であり，その条件のもとで選んだ玉が $1$ 番目の箱から選んだ色と同じ色となる確率は $\dfrac{2}{3}$ である．

また， $k+1$ 番目の箱の中味が $1$ 番目の箱から選んだ色と同じ玉が1個で違う玉が2個である確率は $1-p_k$ であり，その条件のもとで選んだ玉が $1$ 番目の箱から選んだ色と同じ色となる確率は $\dfrac{1}{3}$ である．

よって， $k+1$ 番目の箱の3つの玉から1つ選んだときに，それが $1$ 番目の箱から選んだ色と同じ確率は漸化式
$p_{k+1}=\dfrac{2}{3}p_k+\dfrac{1}{3}(1-p_k)=\dfrac{1}{3}p_k+\dfrac{1}{3}（k=2,\ldots,n-1）$
をみたす．よって
$p_n-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{3}\Bigl(p_{n-1}-\dfrac{1}{2}\Bigr)$ $=\dfrac{1}{3^{n-2}}\Bigl(p_{2}-\dfrac{1}{2}\Bigr)=\dfrac{1}{2\cdot 3^{n-1}}$
となり，
$p_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\cdot 3^{n-1}}$
となる．