[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021年(令和3年)京都大学-数学(文系)[2]

[2]

定積分 \displaystyle\int_{-1}^1 \Bigl|x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\Bigr|dx を求めよ．

2021.03.09記

[解答]

f(x)=x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}，F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x とおく．

f(x)=(x-1)\Bigr(x+\dfrac{1}{2}\Bigr) であるから，
\displaystyle\int_{-1}^1 \Bigl|x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\Bigr|dx
=\displaystyle\int_{-1}^{-1/2} f(x)dx-\displaystyle\int_{-1/2}^{1} f(x) dx
=2F\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)-F(1)-F(-1)=\dfrac{19}{42}
となる．