2021年(令和3年)京都大学-数学(文系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[4]

空間の8点 $\rm O(0,0,0)$ ， $\rm A(1,0,0)$ ， $\rm B(1,2,0)$ ， $\rm C(0,2,0)$ ， $\rm D(0,0,3)$ ， $\rm E(1,0,3)$ ， $\rm F(1,2,3)$ ， $\rm G(0,2,3)$ を頂点とする直方体 $\rm OABC-DEFG$ を考える．

点 $\rm O$ ，点 $\rm F$ ，辺 $\rm AE$ 上の点 $\rm P$ ，および辺 $\rm CG$ 上の点 $\rm Q$ の4点が同一平面上にあるとする．このとき，四角形 $\rm OPFQ$ の面積 $S$ を最小にするような点 $\rm P$ および点 $\rm Q$ の座標を求めよ．また，そのときの $S$ の値を求めよ．

2021.03.10記

[解答]

直方体の向い合う面は平行であるから，四角形 $\rm OPFQ$ は平行四辺形である．平行四辺形は対角線を互いに2等分するので $\rm PQ$ の中点は $\rm OF$ の中点と同じ点 $\Bigl(\dfrac{1}{2},1,\dfrac{3}{2}\Bigr)$ である．

よって ${\rm P}(1,0,p)$ とおくと ${\rm Q}(0,2,3-p)$ となる． $\rm P,Q$ が辺 $\rm AE$ ，辺 $\rm CG$ 上にあることから $0\leqq p\leqq 3$ であり，
$S^2=|\overrightarrow{\rm OP}|^2|\overrightarrow{\rm OQ}|^2-(\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm OQ})^2$
$=(1+p^2)\{4+(3-p)^2\}-\{p(3-p)\}^2$ $=5p^2-6p+13$ $=5\Bigl(p-\dfrac{3}{5}\Bigr)^2+\dfrac{56}{5}$
となるので， $p=\dfrac{3}{5}$ ，つまり ${\rm P}\Bigl(1,0,\dfrac{3}{5}\Bigr)$ ， ${\rm Q}\Bigl(0,2,\dfrac{12}{5}\Bigr)$ のときに $S$ は最小値 $\sqrt{\dfrac{56}{5}}$ $=\dfrac{2\sqrt{70}}{5}$ をとる．