[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2000年(平成12年)東京大学後期-数学

2024.02.12記

[1] $k$ を正整数とし， $x$ を変数とする $k$ 次多項式 $P_k(x)$ について次の条件
(C) $\left\{\begin{array}{l}P_k(x)-P_k(x-1)=x^{k-1} \\ P_k(0)=0\end{array}\right.$
を考える．ただし， $x^0=1$ と定める．このとき，次の問に答えよ．

(1) $k=1$ ， $2$ に対し， $P_k(x)$ を求めよ．

(2) すべての $k\geqq 3$ に対し，条件(C)を満たす $P_k(x)$ が存在し，しかもただ一つであることを示せ．

(3) 正整数 $k$ に対し， $k$ 次の多項式 $Q_k(x)$
を次の条件が成立するように定める．

$\left\{\begin{array}{l} Q_k(0)=Q_k(1)=…=Q_k(k-1)=0 \\ Q_k(k)=1 \end{array} \right.$

このとき， $k$ 個の整数 $c_1$ ， $c_2$ ，…， $c_k$ がそれぞれただ一つ存在して $P_k(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^{k} c_jQ_j(x)$ と表されることを示せ．

[2] 正整数 $l$ を与える．各正整数 $n$ に対して，関数 $y=x^l\sin nx$ ， $0\leqq x\leqq 2\pi$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる図形を $C_n$ とする．

(1) $C_n$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を $V_n$ とするとき，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} V_n$ を求めよ．

(2) $C_n$ を $y$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を $W_n$ とするとき，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} W_n$ を求めよ．

[3] 背番号 $1$ から $5$ までを順に付けた $5$ 人が，何も置かれていないテーブルに向かっている．最初 $5$ 人は各自3枚のコインを持っている．それを背番号順に必ず $1$ 枚または $2$ 枚テーブルの上に置いてゆく．ただし，手もとに $2$ 枚以上のコインがあるときに $1$ 枚だけコインを置く確率を $p$ とし， $p$ は人によらず一定とする．

背番号 $5$ の人が置き終わったところ（一巡目が終わったところ）で，再び背番号 $1$ の人から順に手もとに残ったコインをテーブルに置いてゆく．

(1) 一巡目が終わったとき，テーブルの上に $7$ 枚のコインが置かれている確率 $Q$ を求めよ．また，その $Q$ を最大にする $p$ の値と，そのときの $Q$ の値を求めよ．

(2) 一巡目を終えるとき，背番号 $5$ の人が，テーブル上に $7$ 枚目のコインを置く確率 $R$ を求めよ．また，その $R$ を最大にする $p$ の値を求めよ．

(3) 二巡目が終わったときのテーブルの上のコインの数の期待値を求めよ．

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