1989年(昭和64年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[6] 3個の赤玉と $n$ 個の白玉を無作為に環状に並べるものとする．このとき白玉が連続して $k+1$ 個以上並んだ箇所が現れない確率を求めよ．ただし $\dfrac{n}{3}\leqq k\lt \dfrac{n}{2}$ とする．

2021.01.23記
「場合の数」のときは、回転して重なるものを同一視しなければならないので面倒だが，
確率の場合は回転して重なるものも別と考えることができるので話は単純である．

[解答]
特定の赤玉を基準とし，そこから，時計回りに白玉が $x$ 個，赤玉，白玉が $y$ 個，赤玉，白玉が $z$ 個
（ $0\leqq x,y,z\leqq k$ ）の順に並ぶとする．

このとき， $x+y+z=n$ の整数解のうち， $0\leqq x,y,z\leqq k$
（但し $\dfrac{n}{3}\leqq k\leqq\dfrac{n}{2}$ ）をみたすものの割合を求めれば良いが，その個数を求め， $x+y+z=n$ の整数解の個数 ${}_n\mbox{C}_2$ 個で割れば良い．