2023年(令和5年)京都大学-数学(文系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.23記

[3] (1) $\cos2\theta$ と $\cos3\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ．

(2) 半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さが $1.15$ より大きいか否かを理由を付けて判定せよ．

2023.11.23記

[解答]
(1) 加法定理により
$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ ， $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3=cos\theta$
となる．

(2) 半径1に内接する5角形の1辺の長さは $2\sin 36^{\circ}$ である．
$\theta=36^{\circ}$ とおくと $\cos3\theta+\cos2\theta=0$ が成立するので (1) より $x=\cos\theta$ は
$4x^3-3x+2x^2-1=0$
つまり
$(x+1)(4x^2-2x-1)=0$
となる．この3次方程式の解で $0\lt x\lt 1$ をみたすのは $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}(=\cos\theta)$ である．

$2\sin\theta$ と $1.15=\dfrac{23}{20}$ の大小を知るには
$\sin^2\theta$ と $\dfrac{23^2}{40^2}$ の大小を知れば良く，そのためには
$1-\dfrac{23^2}{40^2}=\dfrac{17\cdot 63}{40^2}$ と $\cos^2\theta=\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}$ の大小を知れば良く，そのためには
$\dfrac{17\cdot 63}{200}=\dfrac{1071}{200}$ と $3+\sqrt{5}$ の大小を知れば良く，そのためには
$\dfrac{471}{200}=2.355$ と $\sqrt{5}$ の大小を知れば良い．