[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1981年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[2]

2023.08.22記

[2] 半径 $1$ の円に内接する正 $6$ 角形の頂点を $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，……， $\mbox{A}_6$ とする．これらから，任意に（無作為に）えらんだ $3$ 点を頂点とする $3$ 角形の面積の期待値（平均値）を求めよ．ただし， $2$ つ以上が一致するような $3$ 点がえらばれたときは，三角形の面積は $0$ と考える．

2020.11.25記

[解答]
216通り調べれば良い．そのうち面積が0とならないような、3点が全て異なる場合の数は $120$ 通り

連続3点が選ばれる場合の数は36通りで面積は正三角形1個分

1個とびの3点が選ばれる場合の数は6通りで面積は正三角形4個分

直径を含む3角形となるばれる場合の数は残りの72通りで正三角形2個分

よって求める期待値は $\dfrac{36+4\times 6+ 2\times 72}{216}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ $=\dfrac{216}{216}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

なお，回転対称性から，1つ目に選んだ頂点が $\rm A_1$ であるとして良く，このときは $36$ 通り調べることになる．