2023年(令和5年)京都大学-数学(文系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.23記

[4] 数列 $\{ a_n \}$ は次の条件を満たしている．
$a_1=3，a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot2^n$ （ $n=2，3，4，\cdots\cdots$ ）
ただし， $S_n=a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n$ である．
このとき，数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求めよ．

2023.11.23記

[解答]
$S_n=na_n-(n-1)n\cdot2^n$ （ $n=2，3，4，\cdots\cdots$ ）
であり，これは $n=1$ でも成立する．

よって
$S_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-n(n+1)\cdot 2^{n+1}$
とから，
$a_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-na_n-(n+3)n\cdot2^{n}$
つまり
$a_{n+1}=a_n+(n+3)\cdot2^{n}$ （ $n=1，2，3，4，\cdots\cdots$ ）
が成立する．よって
$a_{n+1}=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k+3)\cdot2^{k}$
が成立する．

ここで $b_n=(An+B)2^n$ とおくと
$b_{n+1}-b_n=\{A(n+1)+B\}2^{n+1}-(An+B)2^n$ $=(An+2A+B)2^{n}=(n+3)2^n$
なる $A，B$ は $A=1，B=1$ であるから，
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k+3)\cdot2^{k}$
$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (b_{k+1}-b_k)$
$=b_{n+1}-b_1$ $=(n+2)2^{n+1}-4$
となり，
$a_{n+1}=3+(n+2)2^{n+1}-4$ $=(n+2)2^{n+1}-1$
（ $n=1，2，3，4，\cdots\cdots$ ）
となる．

つまり， $n\geqq 2$ で
$a_{n}=(n+1)2^{n}-1$
となり，これは $n=1$ でも成立する．

以上から
$a_{n}=(n+1)2^{n}-1$
（ $n=1，2，3，4，\cdots\cdots$ ）