[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024年(令和6年)九州大学前期-数学III[3]

2024.03.25記

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) 自然数 $a$ ， $b$ が $a\lt b$ をみたすとき， $\dfrac{b!}{a!}\geqq b$ が成り立つことを示せ．

(2) $2\cdot a!=b!$ をみたす自然数の組 $(a，b)$ をすべて求めよ．

(3) $a!+b!=2\cdot c!$ をみたす自然数の組 $(a，b，c)$ をすべて求めよ．

2024.03.25記(2024/03/25/103641)

[解答]
(1) $a\leqq b-1$ であるから， $\dfrac{b!}{a!}\geqq \dfrac{b!}{(b-1)!}=b$ である．

(2) 自然数の階乗は正の値をとり， $2\cdot a!=b!$ より $b\gt a(\geqq 1)$ だから，(1) より
$2=\dfrac{b!}{a!}\geqq b\gt 1$
となり， $b=2$ ， $a=1$ となる．よって $(a，b)=(1，2)$ のみである．

(3) (i) $a=b$ の場合： $2\cdot a!= 2\cdot c!$ により $a=c$ となり
$(a，b，c)$ $=(n，n，n)$ （ $n$ は任意の自然数）

(ii)
$a\lt b$ の場合： $2\cdot a!\lt a!+b!\lt 2\cdot b!$ であるから
$2\cdot a!\lt c!\lt 2\cdot b!$
が成立する．よって(1)と $c\leqq \dfrac{c!}{b!} \lt 2$ となるので $c=1$ となり
$2\cdot a!\lt 1$
なる自然数 $a$ は存在しない．

$a\lt b$ の場合：同様に存在しない。

以上から，
$(a，b，c)$ $=(n，n，n)$ （ $n$ は任意の自然数）