2021年(令和3年)九州大学前期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[4]

自然数 $n$ と実数 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n（a_n\neq 0）$ に対して，2つの整式
$f(x)$ $=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k$ $=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots\cdots +a_1x+a_0$
$f'(x)$ $=\displaystyle\sum_{k=0}^n ka_k x^{k-1}$ $=n a_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots\cdots +a_1$
を考える． $\alpha,\beta$ お異なる複素数とする．複素数平面上の2点 $\alpha,\beta$ を結ぶ線分上にある点 $\gamma$ で，
$\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f'(\gamma)$
をみたすものが存在するとき，
$\alpha,\beta,f(x)$ は平均値の性質をもつ
ということにする．以下の問いに答えよ．ただし， $i$ は虚数単位とする．

(1) $n=2$ のとき，どのような $\alpha,\beta,f(x)$ も平均値の性質をもつことを示せ．

(2) $\alpha=1-i,\beta=1+i,f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ が平均値の性質をもつための，実数 $a,b,c$ に関する必要十分条件を求めよ．

(3) $\alpha=\dfrac{1-i}{\sqrt{2}},\beta=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}},f(x)=x^7$ は，平均値の性質をもたないことを示せ．

2021.03.17記
複素関数では，本問のように「実関数の平均値の定理」が成立しない．なので複素関数の微分において「複素関数の微分が、開集合において常に0であるとき，その開集合上で定数関数となる」ことを、実関数と同じように証明することはできない．複素関数では Cauchy-Riemann を利用して証明する．

[解答]

(1) $f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ のとき， $f'(z)=2a_2x+a_1$ であるから
$\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ $=a_2(\alpha+\beta)+a_1=f'\Bigl(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\Bigr)$
となり $\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ とすれば良いので，平均値の性質をもつ．

(2) $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ のとき， $f'(z)=3x^2+2ax+b$ である．
$\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ $=(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+a(\alpha+\beta)+a$ $=2+2a+b$
であるから， $f'(z)=3x^2+2ax+b=2a+b+2$ ，つまり
$3x^2+2ax-2a-2=0$ をみたす $x$ が2点 $\alpha,\beta$ を結ぶ線分上にある，つまり
$x=1+yi（-1\leqq y\leqq 1）$ となる条件を求めれば良い．

このとき $3(1+2yi-y^2)+2a(1+yi)-2a-2=0$ ，つまり
$(1-3y^2)+2(a+3)yi=0$
となる． $a,y$ は実数より $a=-3$ ， $b,c$ は任意の実数のとき $y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}（\gamma=1\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}i）$ が存在するので（ $-1\leqq y\leqq 1$ をみたしている）.

求める必要十分条件は「 $a=-3$ かつ $b,c$ は任意の実数のとき」である．

(3) $f(x)=x^7$ のとき， $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ とおくと
$\alpha=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$ ， $\beta=\cos\theta+i\sin\theta$ であるから，
$\alpha^7=\beta$ ， $\beta^7=\alpha$ となり，
$\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ $=-1$
である．

よって $7\gamma^6=-1$ をみたす $\gamma$ が2点 $\alpha,\beta$ を結ぶ線分上に存在すると仮定すると $\alpha,\beta$ の偏角から $\gamma$ の偏角は $-\dfrac{\pi}{4}〜\dfrac{\pi}{4}$ として良く， $\gamma^6$ の偏角が $-\pi$ であることから， $\gamma$ の偏角は $\pm\dfrac{\pi}{6}$ となる．

このとき， $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(1\pm i\tan\dfrac{\pi}{6}\Bigr)$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{6}\pm i\sin\dfrac{\pi}{6}\Bigr)$ となるので，
$7\gamma^6=-\dfrac{56}{27}\neq -1$ となり矛盾する．

よって $\gamma$ は存在せず，平均値の性質をもたない．