[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024年(令和6年)九州大学前期-数学III[4]

2024.03.25記

[4] $n$ を $3$ 以上の整数とする．座標平面上の点のうち， $x$ 座標と $y$ 座標がともに $1$ 以上 $3$ 以下の整数であるものを考える．これら $n^2$ 個の点のうち $3$ 点以上を通る直線の個数を $L(n)$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $L(3)$ を求めよ．

(2) $L(4)$ を求めよ．

(3) $L(5)$ を求めよ．

本問のテーマ

（一般化すると）Farey 数列（の話ができる）

2024.03.25記(2024/03/25/110831)
考えるな，数えろ．

[解答]
(1) 水平3本，垂直3本，ななめ45度2本の合計8本で $L(3)=8$

(2) 水平4本，垂直4本，ななめ45度6本の合計14本で $L(4)=14$

(3) 水平5本，垂直5本，ななめ45度10本，傾き1/2 または 2 が12本で $L(4)=32$

きっと誰かがどこかで，一般の $n$ についての個数に関する記事を書くに違いない．

例えば， $n=9，10$ のとき，直線の傾きとして考えるものは
$0，\dfrac{1}{4}，\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{2}，\dfrac{2}{3}，\dfrac{3}{4}，1$
とその逆数の13種類について考える． $2m+1，2m+2$ で登場する傾きは

Farey数列 $F_m$ とその逆数となる．
ファレイ数列 - Wikipedia