2024年(令和6年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.28記

[6] 2以上の整数で，1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という．以下の問いに答えよ．

(1) $f(x)＝x^3+10x^2+20x$ とする． $f(n)$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求めよ．
(2) $a，b$ を整数の定数とし， $g(x)=x^3＋ax^2＋b$ とする． $g(n)$ が素数となるような整数 $n$ の個数は3個以下であることを示せ．

2024.02.28記
下手すぎるので，後で考え直す．

[解答]
(1) $f(n)=(n^2+10n+20)n$ が素数

(i) $n=1$ のとき 31 で素数

(ii) $n=-1$ のとき $-9$ は素数ではない

(iii) $n^2+10n+20=1$ のとき $n$ は整数ではない

(iv) $n^2+10n+20=-1$ のとき $n=-3，-7$ となり， $f(-3)=3$ ， $f(-7)=7$ より素数．

以上から $n=-7，-3，1$

(2) $h(x)=x^2+ax+b$ とおくと $g(x)=x h(x)$ である．

$g(n)$ が素数となるためには
$n=-1$ ， $n=1$ ， $h(n)=-1$ ， $h(n)=1$
のいずれかが成立する必要がある．

まず，「(★) $h(x)=-1$ または $h(x)=1$ をみたす4つの $x$ が全て整数となるのは，4つの $x$ が4連続整数となるときに限る」

を示す． $h(x)=1$ と $h(x)=-1$ の両方が整数解をもつと仮定すると解の公式から
$a^2-4b+4$ ， $a^2-4b-4$ の両方が平方数となる．

ここで $a^2-4b+4=A^2$ ， $a^2-4b-4=B^2$ とおくと
$A^2-B^2=8$
となるが，平方数は $1，4，9，16，25，…$ と続くのでこのような $A^2，B^2$ は $9，1$ のみであり， $a^2-4b=5$ から
$x^2+ax+\dfrac{a^2-5}{4}=\pm 1$
$\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}\pm 1$
より
$x=-\dfrac{a}{2}-\dfrac{3}{2}$ ， $-\dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{2}$ ， $-\dfrac{a}{2}+\dfrac{1}{2}$ ， $-\dfrac{a}{2}+\dfrac{3}{2}$ と4連続整数となり，(★)は示された．

では，証明する．

(i) $h(n)=-1$ または $h(n)=1$ をみたす4つの $n$ が全て整数となるとき，4連続整数の中に絶対値が素数となるものが3つ以上含まれるためには偶数の素数2を含む必要があるので4連続整数が $n=2,3,4,5$ または $n=-2,-3,-4,-5$ のいずれかである必要がある．

前者は $g(n)=n^3-7n^2+11n$ で， $n=3$ のとき $n^2+an+b=-1$ で不適， $g(1)=5$ ， $g(-1)\lt 0$ より素数は $n=1，2，5$ の場合の3つ．

後者は $g(n)=n^3+7n^2+11n$ で， $n=-2，-5$ のとき $n^2+an+b=1$ で不適， $g(1)=19$ ， $g(-1)=-5$ より素数は $n=-3，1$ の場合の2つ．

よって，この場合は題意をみたす．

(ii) $h(n)=-1$ または $h(n)=1$ をみたす4つの $n$ が全て整数とならないとき，(★)から $h(n)=-1$ または $h(n)=1$ の少くとも一方は整数解をもたず $a$ が整数であることと解と係数の関係から，
(ア) いずれも整数解をもたない
(イ) $h(n)=1$ のみが2つの整数解をもつ
(ウ) $h(n)=-1$ のみが2つの整数解をもつ
のいずれかとなる．

(ア)の場合，素数となるのは高々 $n=\pm 1$ の場合より題意をみたす．

(イ)の場合， $h(n)=1$ の2つの整数解のうち素数となるのが0，1個の場合ならば $n=\pm 1$ を加えても高々3つより題意をみたす．

$h(n)=1$ の2つの整数解がともに素数となる場合，その素数を $p，q$ （ $p\lt q$ ）とすると解と係数の関係から
$p+q=-a$ ， $pq=b-1$
となるので， $h(x)=x^2-(p+q)x+pq+1=(x-p)(x-q)+1$ となり，
$h(-1)=(p+1)(q+1)+1\gt 0$
から $g(-1)\lt 0$ となり $g(-1)$ は素数とならないので題意をみたす．

(ウ) $h(n)=-1$ の2つの整数解のうち素数の $-1$ 倍となるのが0，1個の場合ならば $n=\pm 1$ を加えても高々3つより題意をみたす．

$h(n)=-1$ の2つの整数解がともに素数の $-1$ 倍となる場合，その素数を $p，q$ （ $p\lt q$ ）とすると解と係数の関係から
$-p-q=-a$ ， $(-p)(-q)=b+1$
となるので， $h(x)=x^2+(p+q)x+pq-1=(x+p)(x+q)-1$ となり，
$h(-1)=(p-1)(q-1)-1\gt 0$ （∵ $p\geqq 2，q\geqq 3$ ）
から $g(-1)\lt 0$ となり $g(-1)$ は素数とならないので題意をみたす．