[3]実数 は とする．曲線 と直線 ，直線 および 軸で囲まれた部分を 軸の周りに一回転させて得られる立体の体積を とする．以下の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を最小とする の値を求めよ．(3) 次の極限を求めよ． 必要ならば を証明なしで用いてよい．2…

[4] 正四面体 の頂点 上の動点 が，時刻 0には頂点 にいるとする．0以上の整数 に対して，時刻 の の位置が，時刻 の の位置から以下のルールに従って決まるとする．・時刻 に が頂点 にいる場合 時刻 に はそれぞれ確率 で頂点 にいる．・時刻 に が頂点 に…

[5] を次の条件を満たす3次の多項式とする．(a) の係数は1である． (b) ではない複素数 が存在して，すべての自然数 について となる．以下の問いに答えよ．(1) または であることを示せ．ただし， は虚数単位とする．(2) を求めよ．(3) を次の多項式とする…

[1]座標空間内の4点 ，，， を考える．以下の問いに答えよ． (1) 四面体 に内接する球の中心の座標を求めよ．(2) 中心の 座標， 座標， 座標がすべて正の実数であり， 平面， 平面， 平面のすべてと接する球を考える．この球が平面 と交わるとき，その交わり…

[2] を をみたす定数とし， の2次方程式 を考える．以下の問いに答えよ． (1) 2次方程式 が実数解をもたないような の値の範囲を求めよ．(2) が (1) で求めた範囲にあるとし， の2つの虚数解を とする．ただし， の虚部は の虚部より大きいとする．複素数平…

[3]座標平面上の点 について，次の条件を考える．条件：すべての実数 に対して が成立する．以下の問いに答えよ．必要ならば を使ってよい．(1) 条件 をみたす点 全体の集合を座標平面上に図示せよ。 (2) 条件 をみたす点 のうち， かつ をみたすもの全体の…

[4] 自然数 と実数 に対して，2つの整式 を考える． お異なる複素数とする．複素数平面上の2点 を結ぶ線分上にある点 で， をみたすものが存在するとき， は平均値の性質をもつ ということにする．以下の問いに答えよ．ただし， は虚数単位とする．(1) のと…

[5] 以下の問いに答えよ．(1) 自然数 が をみたすとき， であることを示せ．(2) を素数とする． をみたす自然数の組 で となるものをすべて求めよ．2021.03.17記 [解答](1) であるから， までの 個の積よりも， までの 個の積の方が大きい．よって ，すなわ…