2020年(令和2年)九州大学後期数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5]

以下の規則にしたがって数直線上を移動する点 $\rm A$ を考える．

（規則）点 $\rm A$ が座標 $x$ にあるとき，表が出る確率が $\alpha（0\lt\alpha\lt 1）$ のコインを投げて，表が出たら $x$ から $\dfrac{x}{2}$ へ移動し，裏が出たら $x$ から $1-\dfrac{x}{2}$ へ移動する．

点 $\rm A$ がはじめに座標 $0$ にあるとして，事象「上記の規則を適用する操作を $n$ 回 $(n\geqq1)$ 繰り返した直後に点 $\rm A$ が座標 $y$ にある」の確率を記号 $P_n(y)$ で表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1) $P_1(y)\gt 0$ となる $y（0\leqq y \leqq1）$ とその確率 $P_1(y)$ の組をすべて答えよ．

(2) $y\lt 0$ または $y\gt 1$ のとき， $P_n(y)=0$ であることを示せ．

(3) $P_n(1)$ を求めよ．

(4) $k$ を自然数とするとき，以下のそれぞれの条件で $P_n(2^{-k})$ を求めよ．

(i) $n \leqq k$ のとき

(ii) $n\gt k$ のとき

2020.03.13記

[解答]

(1) 次表の通り

$y$	$0$	$1$
$P_1(y)$	$\alpha$	$1-\alpha$

(2) 区間 $[0,\,1]$ が区間 $[0,\,1]$ に移るので、 $y < 0$ や $y > 1$ になることはないから、その区間にある確率は0

(3) $0 < x\leqq 1$ のとき、 $0 < \dfrac{x}{2} \leqq \dfrac{1}{2}, \, \dfrac{1}{2}\leqq 1-\dfrac{x}{2} < 1$
であるから、 $y\neq 0$ ならば、以降 $y=0,\,1$ となることはない。

よって $y=1$ となるのは、 $y=0$ の次に裏がでるときだから $\alpha^{n-1}(1-\alpha)$ となる。

(4) $y=2^{-k}$ となるのは、その前が $2^{-(k-1)}$ のときに限る。ここで、 $y=1$ の次は必ず $y=\dfrac{1}{2}$ となることに注意しよう。

最初に表が続けて出て最後から数えて $k+1$ 回目に裏がでて、最後から数えて $k$ 回目は何でも良く、その後の最後の $k-1$ 回がすべて表の場合である。

つまり、 $k+1$ 回目に裏、 $k$ 回目は何でも良く、それ以外は全て表となる場合であり、そのような場合は高々1通りしかない。

$n\leqq k$ のとき、最後から数えて $k+1$ 回目が存在しないので、題意をみたす場合の数は0通りとなり、確率0

$n> k$ のとき、確率 $\alpha^{n-2}(1-\alpha)$

注意)

(2)から、特定の $y$ の値になる方法は $1\to\dfrac{1}{2}$ に移動するためにはどちらでも良いことの不定性を除くと、1通りしかないことがわかる。

なお、 $n$ 回行なったあとの $x$ 座標を表す確率変数を $X_n$ とし、 $\beta=1-\alpha$ とおくと最初は次のようになる。

$X_1$	0	1
確率	$\alpha$	$\beta$

$X_2$	0	$\dfrac{1}{2}$	1
確率	$\alpha^2$	$\beta$	$\alpha\beta$

$X_3$	0	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{3}{4}$	1
確率	$\alpha^3$	$\alpha\beta$	$\alpha\beta$	$\alpha\beta^2$	$\alpha^2\beta$

$X_4$	0	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{5}{8}$	$\dfrac{3}{4}$	$\dfrac{7}{8}$	1
確率	$\alpha^4$	$\alpha^2\beta$	$\alpha^2\beta$	$\alpha^2\beta^2$	$\alpha^2\beta$	$\alpha\beta^3$	$\alpha\beta^2$	$\alpha\beta^2$	$\alpha^3\beta$

となっている。要は、表を $\alpha$ 倍したものと、 $\beta$ 倍したものを裏返したものを、 $\dfrac{1}{2}$ で貼り合わせる形になっている。

ここで、例えば、 $P(X_5=\dfrac{7}{16})$ を求めたいとする。この場合、

$1 \to \dfrac{1}{2} \to \dfrac{1}{4} \to \dfrac{7}{8} \to \dfrac{7}{16}$
の順番にでたので $P(X_5=\dfrac{7}{16})=\beta\cdot 1\cdot\alpha\cdot\beta\cdot\alpha=\alpha^2\beta^2$ であることがわかる。

2020.03.14記

例えば、 $P(X_8=\dfrac{29}{32})$ を求めたいとする。この場合、
$0\to 0 \to 1 \to \dfrac{1}{2} \to \dfrac{3}{4} \to \dfrac{3}{8} \to \dfrac{3}{16}\to \dfrac{29}{32}$
の順番にでたので $P(X_8=\dfrac{29}{32})=\alpha^5\beta^2$ となる。

これを二進数と絡めて書くこともできるのだが、結果がまだ単純化されていない。
$x\to\dfrac{x}{2}$ は二進数で1桁右にずらすことに対応し、
$x\to1-\dfrac{x}{2}$ は大雑把には二進数で一番右にある1よりも左の桁の0と1を入れ換えることに対応する