[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024年(令和6年)東京工業大学-数学[5]

2024.04.16記

[5] 整数の組 $(a,b)$ に対して $2$ 次式 $f(x)=x^2+ax+b$ を考える．方程式 $f(x)=0$ の複素数の範囲のすべての解 $\alpha$ に対して $\alpha^n=1$ となる正の整数 $n$ が存在するような組 $(a,b)$ をすべて求めよ．

2024.04.16記(18:47:17)
大数1988年1月号の宿題2番

整数を成分とする適当な2次の正方行列 $A$ をとれば，
$A^n=E$ ，
$A^k\neq E$ （ $k=1，2，…，n-1$ ）
となるような2以上の整数 $n$ を求めよ．

を思い出してしまった．

[解答]
(i) $f(x)=0$ の解が実数解しか持たないとき，その解は $1$ で重解， $-1$ で重解， $1，-1$ の2解の3通りで $(a，b)=(-2，1)，(2，1)，(0，-1)$ となる．

(ii) $f(x)=0$ の解が共役複素数のとき， $|\alpha|^n=1$ より $|\alpha|=1$ だから $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ （ $\sin\theta\neq 0$ ）とおくことができる．
このとき，
$a=-2\cos\theta$ （ $\sin\theta\neq 0$ ）
であるから， $-2\lt a\lt 2$ となり，また $b=1$ である．

$(a，b)=(1，1)$ のとき， $x^2+x+1=0$ の解は $x^3-1=(x-1)(x^2-x+1)=0$ ，つまり $x^3=1$ を満たすので題意を満たす．

$(a，b)=(0，1)$ のとき， $x^2+1=0$ の解は $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=0$ ，つまり $x^4=1$ を満たすので題意を満たす．

$(a，b)=(1，1)$ のとき， $x^2-x+1=0$ の解は $x^6-1=(x^3-1)(x-1)(x^2-x+1)=0$ ，つまり $x^6=1$ を満たすので題意を満たす．

以上より，
$(a，b)=(-2，1)，(-1，1)，(0，-1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)$
となる．