1999年(平成11年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.11記

[2] 次の2つの条件(a)，(b)を同時に満たす複素数 $z$ 全体の集合を複素数平面上に図示せよ．

(a) $2z$ ， $\dfrac{2}{z}$ の実部はいずれも整数である．

(b) $|z|\geqq 1$ である．

2021.01.13記
$2z$ の実部は $z+\bar{z}$ ， $\dfrac{2}{z}$ の実部は $\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{\bar{z}}=\dfrac{z+\bar{z}}{|z|^2}$ となり，偏角は同じとなる．

$z$ をどのように置くかの巧拙が後の計算に影響する．

[解答]
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ （ $r\geqq 1$ ）とおくと， $(2\cos\theta)r，\dfrac{2\cos\theta}{r}$ が整数となる．

このとき，2つの積 $4\cos^2\theta$ （ $0\leqq 4\cos^2\theta\leqq 4$ ）も整数であることから，
$2\cos\theta=0，\pm 1，\pm\sqrt{2}，\pm\sqrt{3}，\pm 2$
となる．

(i) $2\cos\theta=0$ のとき， $r$ は任意だが，条件から $r\geqq 1$ なので， $(0,y)$ （ $|y|\geqq 1$ ）

(ii) $2\cos\theta=\pm1$ のとき， $r,\dfrac{1}{r}$ が整数となるので $\dfrac{1}{r}=1$ ，つまり $r=1$ が必要かつ十分となり， $\Bigl(\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$ （複号任意）

(iii) $2\cos\theta=\pm\sqrt{2}$ のとき， $\sqrt{2}r,\dfrac{\sqrt{2}}{r}$ が整数となるので $\dfrac{\sqrt{2}}{r}=1$ ，つまり $r=\sqrt{2}$ が必要かつ十分となり， $(\pm1,\pm1)$ （複号任意）

(iv) $\cos\theta=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のとき， $\sqrt{3}r,\dfrac{\sqrt{3}}{r}$ が整数となるので $\dfrac{\sqrt{3}}{r}=1$ ，つまり $r=\sqrt{3}$ が必要かつ十分となり， $\Bigl(\pm\dfrac{3}{2},\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$ （複号任意）