2019年(平成31年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2019.02.26記

[6] 複素数 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ ， $\delta$ および実数 $a$ ， $b$ が，次の3条件をみたしながら動く．

条件1： $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ ， $\delta$ は相異なる．

条件2： $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ ， $\delta$ は4次方程式 $z^4-2z^3-2az+b=0$ の解である．

条件3：複素数 $\alpha\beta+\gamma\delta$ の実部は0であり，虚部は0でない．

(1) $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ ， $\delta$ のうち，ちょうど2つが実数であり，残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ．

(2) $b$ を $a$ で表せ．

(3) 複素数 $\alpha+\beta$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ．

2019.02.26記
共役複素数の積の虚部は0になることがポイント。

[解答]
(1) 4つの複素数がすべて実数とすると条件3の虚部が0でないことに反する．

4つの複素数が2組の共役複素数とする． $\alpha$ と $\beta$ ， $\gamma$ と $\delta$ が共役であるとするとやはり $\alpha\beta+\gamma\delta$ の虚部が0でないことに反する．

また， $\alpha$ と $\gamma$ ， $\beta$ と $\delta$ が共役であるとすると $\alpha\beta$ と $\gamma\delta$ が共役となり，やはり $\alpha\beta+\gamma\delta$ の虚部が0でないことに反する．

$\alpha$ と $\delta$ ， $\beta$ と $\gamma$ が共役である場合も同じである．

よって4つの複素数が2組の共役複素数とはならない．

以上から，ちょうど2つが実数で，残りの2つは互いに共役な複素数となる．

(2) ここで $\alpha$ と $\beta$ が実数で， $\gamma$ と $\delta$ が共役複素数とすると $\alpha\beta+\gamma\delta$ の虚部が0でないことに反し，同様に $\alpha$ と $\beta$ が共役複素数で， $\gamma$ と $\delta$ が実数としても条件3に反する．

よって $\beta$ と $\delta$ が共役複素数として良い．このとき $\alpha\beta+\gamma\delta$ の実部が0であることから2つの実数解は $\alpha=k$ ， $\gamma=-k（[tex:k$ は0でない実数）とおくことができる．つまり4つの解は $k, -k, p+qi, p-qi$ （ $q\neq 0$ ）とおくことができる．

よって解と係数の関係から
$2p=2，k^2=p^2+q^2，-2k^2p=2a，-k^2(p^2+q^2)=b$
となり
$p=1，k^2=1+q^2，a=-k^2，b=-k^4$
となる．よって $b=-a^2$ が成立する．

(3) $\alpha+\beta = k+1+qi = x+yi$ とおくと $k^2=1+q^2$ から
$(x-1)^2=1+y^2$
が成立する．ここで4つの複素数が異なることから $k\neq 0，q\neq 0$ ，つまり $x\neq 1，y\neq 0$ だから求める範囲は双曲線
$(x-1)^2-y^2=1$
から2点 $(0,0)，(2,0)$ を除いたものとなる．

$\alpha$ と $\beta$ の組み合わせとして、4通り考えられることになるが、どれをとっても本質的に同じである。例えば、 $k$ と $-k$ は符号が逆という意味しかない(文字が正とはどこにも書いていない)ので、
どちらを実数解として選んでも同じである(その結果、双曲線の2枝それぞれに対応する)。

各種予備校の解答は、結構細かい．