[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024.02.19記

[3] $n$ を正の整数とする．実数 $x$ ， $y$ ， $z$ に対する方程式
$x^n+y^n+z^n=xyz$ …①
を考える．

(1) $n=1$ のとき，①を満たす正の整数の組 $(x,y,z)$ で， $x\leqq y\leqq z$ となるものをすべて求めよ．

(2) $n=3$ のとき，①を満たす正の実数の組 $(x,y,z)$ は存在しないことを示せ．

2021.01.31記

[解答]
(1) $xyz=x+y+z\leqq 3z$ だから， $xy\leqq 3$ となり $(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3)$ となり，3通り調べると
$(x,y,z)=(1,2,3)$

(2) $x^3+y^3+z^3=xyz\leqq z^3$ だから， $x^3+y^3\leqq 0$ となり，これをみたす正の整数の組は存在しない．