1914年(大正3年)東京帝國大學工科大學-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] From $F$ one of the foci of a given ellipse, radius vectors are drawn dividing the angle $AFB=\pi$ into $n$ equal parts, $AB$ being the major axis of the ellipse. Find the arithmetrical mean of these radius vectores when $n=\infty$ .
図省略。楕円の長軸の両端が $A,B$ である。

2019.03.27記

[3] 与えられた楕円の焦点の一つ $F$ から、角度 $AFB=\pi$ を $n$ 等分した動径ベクトルを描く。 $n =\infty$ のとき、これら動径ベクトルの長さの算術平均を求めよ。
図省略。楕円の長軸の両端が $A,B$ である。

楕円の極方程式 $r=\dfrac{l}{1+e\cos\theta}(0\lt e\lt 1)$ を利用する。

これは $(1-e^2)x^2+2lex+y^2=l^2$ 、つまり $\dfrac{\left(x+\dfrac{le}{1-e^2}\right)^2}{\dfrac{l^2}{(1-e^2)^2}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{l^2}{1-e^2}}=1$ という楕円であるから、その長半径は $\dfrac{l}{1-e^2}$ であり、短半径は $\dfrac{l}{\sqrt{1-e^2}}$ である。

$\theta$ として $\dfrac{k\pi}{n}(k=1,..., n-1)$ を考え、それらに対応する動径の長さを $r_k$ とする。

このとき、 $\Delta\theta=\dfrac{\pi}{n}$ を用いて
$\dfrac{r_1+\cdots+r_{n-1}}{n-1}=\dfrac{(r_1+\cdots+r_{n-1})\Delta\theta}{\pi-\Delta\theta}$
が成立するので、求める値は
$\displaystyle I=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{\pi} rd\theta=\dfrac{l}{\pi}\int_0^{\pi} \dfrac{d\theta}{1+e\cos\theta}$
となる。

$t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ とおくと $\displaystyle \dfrac{2dt}{1+t^2}=d\theta$ 、 $\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
であるから、
$\displaystyle I=\dfrac{l}{\pi}\int_0^{\infty} \dfrac{1}{1+e\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\dfrac{2dt}{1+t^2} =\dfrac{l}{\pi}\int_0^{\infty} \dfrac{2dt}{1+t^2+e(1-t^2)}$
$\displaystyle =\dfrac{l}{\pi}\int_0^{\infty} \dfrac{2dt}{(1-e)t^2+1+e}=\dfrac{2}{1-e}\dfrac{l}{\pi}\int_0^{\infty} \dfrac{dt}{t^2+\dfrac{1+e}{1-e}}$

ここで $a=\sqrt{\dfrac{1+e}{1-e}}(\gt 0)$ とおき $t=a\tan u$ とおくと $dt=a(1+\tan^2 u)du$ だから、
$\displaystyle I=\dfrac{2}{1-e} \dfrac{l}{\pi} \int_0^{\pi/2} \dfrac{1}{a^2\tan^2 u+a^2}\cdot a(1+\tan^2 u)du$
$\displaystyle =\dfrac{2}{1-e}\dfrac{l}{\pi}\int_0^{\pi/2} \dfrac{1}{a}du =\dfrac{2}{1-e}\dfrac{l}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2a}=\dfrac{l}{a(1-e)}=\dfrac{l}{\sqrt{1-e^2}}$
となり、この値は楕円の短半径に等しい。

$\tan^{-1}$ を使って良いなら、
$\displaystyle \int_0^{\pi}\dfrac{d\theta}{1+e\cos\theta}= \int_0^{\pi}\dfrac{d\theta}{\cos^2\dfrac{\theta}{2}+\sin^2\dfrac{\theta}{2}+e\left(\cos^2\dfrac{\theta}{2}-\sin^2\dfrac{\theta}{2}\right)}$
$\displaystyle = \int_0^{\pi}\dfrac{1}{1+e+(1-e)\tan^2\dfrac{\theta}{2}}\cdot\dfrac{d\theta}{\cos^2\dfrac{\theta}{2}}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{1-e}\int_0^{\pi}\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1+e}{1-e}}^2+\tan^2\dfrac{\theta}{2}}\cdot\dfrac{d\theta}{\cos^2\dfrac{\theta}{2}}$
$\displaystyle =\dfrac{2}{1-e} \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}}\left[\tan^{-1}\left(\sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}}\tan\dfrac{\theta}{2}\right)\right]_0^{\pi}=\dfrac{2}{1-e} \sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{\sqrt{1-e^2}}$