1986年(昭和61年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[6] 直円錐(すい)形のグラスに水が満ちている．水面の円の半径は $1$ ，深さも $1$ である．

(1) このグラスを右の図のように角度 $\alpha$ だけ傾けたとき，できる水面は楕(だ)円である．この楕円の中心からグラスのふちを含む平面までの距離 $l$ と，楕円の長半径 $a$ および短半径 $b$ を， $m=\tan\alpha$ で表せ．
ただし楕円の長半径，短半径とは，それぞれ長軸，短軸の長さの $\dfrac{1}{2}$ のことである．

(2) 傾けたときこぼれた水の量が，最初の水の量の $\dfrac{1}{2}$ であるとき，
$m=\tan\alpha$ の値を求めよ．ただしグラスの円錐の頂点から，新しい水面までの距離を $h$ とするとき，残った水の量は， $\dfrac{1}{3}\pi abh$ に等しいことを用いよ．

2020.12.14記
円錐の切り口の平面と円錐の両方に接する2つの球を考えると，切り口は、その2つの接点を焦点とする楕円になる、という話は有名で、それを利用して求めることもできるが，計算は座標を設定するのが簡単．

[解答]
円錐の軸を $z$ 軸とすると、円錐の式は $x^2+y^2=z^2$ となる．
水面を $z=m(y-1)+1$ とおくことができるので，切り口を $xy$ 平面に正射影した楕円の方程式は， $z$ を消去して得られる
$\dfrac{1+m}{1-m} x^2+(1+m)^2\Bigl(y-\dfrac{m}{1+m}\Bigr)^2=1$
となる．

よってもとの楕円の短半径はこの楕円の短半径と同じく $b=\sqrt{\dfrac{1-m}{1+m}}$ であり，
もとの楕円の長半径はこの楕円の長半径の $\sqrt{1+m^2}$ 倍で
$a=\dfrac{\sqrt{1+m^2}}{1+m}$ となる．

また， $l=a\sin\alpha=\dfrac{m}{1+m}$ である．

(2) 原点から平面までの距離は $h=\dfrac{1-m}{\sqrt{1+m^2}}$ だから，残った水の量は
$\dfrac{1}{3}\pi abh=\dfrac{1}{3}\pi\Bigl(\dfrac{1-m}{1+m}\Bigr)^{3/2}$
であり，これがもとの体積 $\dfrac{\pi}{3}$ の半分だから，
$\Bigl(\dfrac{1-m}{1+m}\Bigr)^{3/2}＝\dfrac{1}{2}$
となり， $m=\dfrac{\sqrt[3]{4}-1}{\sqrt[3]{4}+1}$
となる．