1982年(昭和57年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.23記

[1] 行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ によって定まる $xy$ 平面の1次変換を $f$ とする．原点以外のある点 $\mbox{P}$ が $f$ によって $\mbox{P}$ 自身にうつされるならば，原点を通らない直線 $l$ であって， $l$ のどの点も $f$ によって $l$ の点にうつされるようなものが存在することを証明せよ．

[2] 正4面体 $T$ と半径 $1$ の球面 $S$ とがあって， $T$ の $6$ つの辺がすべて $S$ に接しているという． $T$ の $1$ 辺の長さを求めよ．つぎに， $T$ の外側にあって $S$ の内側にある部分の体積を求めよ．

[3] $xy$ 平面において，点 $\mbox{A}$ は原点 $\mbox{O}$ を中心とする半径 $1$ の円周の第1象限にある部分を動き，点 $\mbox{B}$ は $x$ 軸上を動く．ただし，線分 $\mbox{AB}$ の長さは $1$ であり，線分 $\mbox{AB}$ は両端 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ 以外の点 $\mbox{C}$ で円周と交わるものとする．

(1) $\theta=\angle\mbox{AOB}$ の取りうる値の範囲を求めよ．

(2) $\mbox{BC}$ の長さを $\theta$ で表せ．

(3) 線分 $\mbox{OB}$ の中点を $\mbox{M}$ とするとき，線分 $\mbox{CM}$ の長さの範囲を求めよ．

[4] $xy$ 平面上の曲線 $y=\sin x$ に沿って，図のように左から右へすすむ動点 $\mbox{P}$ がある． $\mbox{P}$ の速さが一定 $V$ （ $V\gt 0$ ）であるとき， $\mbox{P}$ の加速度ベクトル $\vec{\alpha}$ の大きさの最大値を求めよ．ただし， $\mbox{P}$ の速さとは $\mbox{P}$ の速度ベクトル $\vec{v}=(v_1,v_2)$ の大きさであり，また $t$ を時間として $\vec{\alpha}=\left(\dfrac{dv_1}{dt},\dfrac{dv_2}{dt}\right)$ である．