[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1923年(大正12年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學(全1問)

[1] 次ノ式ニ依リ表ハサルル曲線ニ於テ $y$ ハ極大値若クハ極小値ヲ有スルコトアリヤ，若シアリトスレバ其所ニ於ケル $x$ ノ値如何．
$y=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{ax}{b}}$

2022.08.16記

[解答]
式の形から $x\neq 0$ ， $b\neq 0$ である．ここで $k=\dfrac{a}{b}$ とおくと
$y=\dfrac{x}{kx^2+x+1}$
であるから，
$y'=\dfrac{(kx^2+x+1)-x(2kx+1)}{(kx^2+x+1)^2}$ $=\dfrac{1-kx^2}{(kx^2+x+1)^2}$
となり， $y'=0$ となるのは $kx^2=1$ のときである．

(i) $k\leqq 0$ ，つまり $ab\leqq 0$ のとき，極大値も極小値もない.

(ii) $k\gt 0$ ，つまり $ab\gt 0$ のとき $x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{k}}=\pm \sqrt{\dfrac{b}{a}}$ で $y'=0$ となり，その前後で符号を変化させるので，
$x=-\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ で極小， $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ で極大
となる．