1980年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[4] $xy$ 平面上の動点 $\mbox{P}$ の座標 $(x,y)$ は，時刻 $t$ を用いて
$\left\{ \begin{array}{l} x= \sin t+\cos t \\ y = k \sin^2 t \cos^2 t \end{array} \right.$
（ $-\infty \lt t\lt \infty$ ）と表されるものとする．ただし $k$ は正の定数である．このとき原点と $\mbox{P}$ との間の距離の2乗の最大値および最小値を， $k$ を用いて表せ．

2020.11.25記

[解答]
$x^2+y^2=1+\sin 2t+\dfrac{k^2}{16}\sin^4 2t$ の全実数における最小値を求めれば良い．

$u=\sin 2t\in[-1,1]$ とおき， $f(u)=\dfrac{k^2}{16}u^4+u+1$ （ $k\gt 0$ ）とおくと，
$f'(u)=0\Leftrightarrow u=-\sqrt[3]{\dfrac{4}{k^2}}$
となり，この前後で符号が負から正に変化するので極小となる．

$0\lt k\leqq 2$ のとき，極小を与える $u$ は $-1$ 以下となるので最小値は $f(-1)=\dfrac{k^2}{16}$ ，最大値は $f(1)=\dfrac{k^2}{16}+2$

$2\lt k$ のとき，極小を与える $u$ は区間内となるので最小値は $f\Bigl(-\sqrt[3]{\dfrac{4}{k^2}}\Bigr)=1-\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{\dfrac{4}{k^2}}$ ，最大値は　 $\max\{f(-1),f(1)\}=f(1)=\dfrac{k^2}{16}+2$