1943年(昭和18年)東京帝國大學工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] $t$ ガ實數ナルトキ $a+2ht+bt^2$ ガ負ナラザル爲ニハ $x=\dfrac{a+2ht+bt^2}{1+t^2}$ ノ極大値ト，極小値トノ積ガ負ナラザルコトヲ要スルコトヲ證明セヨ。但シ $a,b,h$ ハ實數ニシテ $h\neq 0, b \gt 0$ トスル。

2020.03.31記

任意の実数 $t$ について $a+2ht+bt^2$ が非負である条件は、
2次方程式 $a+2ht+bt^2=0$ の判別式を $D=4(h^2-ab)$ とおくと、 $b\gt 0$ により、 $D\leqq 0$ である。

$\dfrac{f(t)}{g(t)}$ が微分可能な極値となる必要条件は $f'(t)g(t)-f(t)g'(t)=0$ だから、極値となる点において $\dfrac{f(t)}{g(t)}=\dfrac{f'(t)}{g'(t)}$ が成立する。

$x$ の極大、極小が $t=p,\,q$ でとるとき、 $p,\,q$ は $(2h+2bt)(1+t^2)-(a+2ht+bt^2)\cdot 2t=0$ 、つまり $h+(b-a)t-ht^2=0$ の2解であるから、 $p+q=\dfrac{b-a}{h},\,pq=-1$ が成立する。

極大値と極小値の積は
$\dfrac{h+bp}{p}\cdot\dfrac{h+bq}{q}=\dfrac{h^2+hb(p+q)+b^2pq}{pq}=\dfrac{h^2+b(b-a)-b^2}{-1}=ab-h^2=-\dfrac{D}{4}$
であるから、 $D\leqq 0$ なる必要十分条件は極大値と極小値の積が非負であることである。